Номер 28, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 28, страница 14.

Условие.

28. Является ли тождеством равенство:

а) $\frac{\sqrt{x}}{y} = \sqrt{\frac{x}{y^2}}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для обеих частей равенства $\frac{\sqrt{x}}{y} = \sqrt{\frac{x}{y^2}}$.
Для левой части $\frac{\sqrt{x}}{y}$: подкоренное выражение не может быть отрицательным, то есть $x \ge 0$, а знаменатель не может быть равен нулю, то есть $y \ne 0$.
Для правой части $\sqrt{\frac{x}{y^2}}$: выражение под корнем должно быть неотрицательным, $\frac{x}{y^2} \ge 0$. Поскольку знаменатель $y^2$ всегда положителен при $y \ne 0$, это неравенство равносильно условию $x \ge 0$. Также $y \ne 0$.
ОДЗ для обеих частей совпадает: $x \ge 0$ и $y \ne 0$.
Теперь преобразуем правую часть, используя свойство квадратного корня из частного и определение модуля $\sqrt{a^2}=|a|$:
$\sqrt{\frac{x}{y^2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y^2}} = \frac{\sqrt{x}}{|y|}$.
Таким образом, исходное равенство можно переписать в виде $\frac{\sqrt{x}}{y} = \frac{\sqrt{x}}{|y|}$.
Это равенство верно только в том случае, когда $y = |y|$, то есть при $y > 0$. Если $y < 0$, то $|y| = -y$, и равенство не выполняется (за исключением случая $x=0$). Например, подставим $x=1$ и $y=-1$ (эти значения входят в ОДЗ):
Левая часть: $\frac{\sqrt{1}}{-1} = -1$.
Правая часть: $\sqrt{\frac{1}{(-1)^2}} = \sqrt{1} = 1$.
Поскольку $-1 \ne 1$, равенство не является тождеством.
Ответ: нет, данное равенство не является тождеством, так как оно не выполняется при отрицательных значениях $y$.

б) Проверим, является ли тождеством равенство $\sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.
ОДЗ для обеих частей равенства определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \ne 0$. Выражения под корнями ($x^2+1$ и $\frac{1}{x^2} + 1$) всегда положительны при $x \ne 0$.
Преобразуем левую часть равенства, приведя выражение под корнем к общему знаменателю:
$\sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} = \sqrt{\frac{1+x^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x^2}}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|}$.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $\frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.
Это равенство верно только тогда, когда $|x| = x$, что справедливо лишь для $x > 0$. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и левая часть будет положительной, а правая — отрицательной, то есть равенство не будет выполняться. Например, подставим $x=-2$ (это значение входит в ОДЗ):
Левая часть: $\sqrt{\frac{1}{(-2)^2} + 1} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Правая часть: $\frac{\sqrt{(-2)^2+1}}{-2} = \frac{\sqrt{5}}{-2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Поскольку $\frac{\sqrt{5}}{2} \ne -\frac{\sqrt{5}}{2}$, равенство не является тождеством.
Ответ: нет, данное равенство не является тождеством, так как оно не выполняется при отрицательных значениях $x$.