Номер 33, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 33, страница 14.
№33 (с. 14)
Условие. №33 (с. 14)
скриншот условия

33. Решите уравнение:
а) $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x};$
б) $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2-2x} = \frac{1}{x};$
в) $x^2 - 3\sqrt{x^2} = 10;$
г) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 = 10;$
д) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$
е) $(2x - 1)^4 - (2x - 1)^2 = 12.$
Решение. №33 (с. 14)




Решение 2 (rus). №33 (с. 14)
а)
Исходное уравнение: $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x^2+x \neq 0 \implies x(x+1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -1$.
$x \neq 0$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:
$\frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)}$
Так как мы работаем в ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$ и избавиться от дробей:
$x^2 - 1 = x+1$
Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.
$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$
$x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x=2$ удовлетворяет условиям $x \neq 0$ и $x \neq -1$. Корень $x=-1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.
Ответ: $2$.
б)
Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2-2x} = \frac{1}{x}$.
ОДЗ: знаменатели не равны нулю.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x^2-2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.
$x \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Общий знаменатель $x(x-2)$. Приводим к нему дроби:
$\frac{x \cdot x}{x(x-2)} - \frac{4}{x(x-2)} = \frac{1 \cdot (x-2)}{x(x-2)}$
Умножаем на $x(x-2)$:
$x^2 - 4 = x-2$
Переносим все в левую часть:
$x^2 - x - 2 = 0$
Это то же самое уравнение, что и в пункте а). Его корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x=2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x=-1$ удовлетворяет условиям $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Ответ: $-1$.
в)
Исходное уравнение: $x^2 - 3\sqrt{x^2} = 10$.
Учтем, что $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 3|x| - 10 = 0$
Рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение становится:
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Решим его. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{3+7}{2} = 5$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = \frac{3-7}{2} = -2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение становится:
$x^2 - 3(-x) - 10 = 0$
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Решим его. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$x_3 = \frac{-3+7}{2} = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{-3-7}{2} = -5$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $-5; 5$.
г)
Исходное уравнение: $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 = 10$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.
В области допустимых значений $(\sqrt{x})^2 = x$. Уравнение упрощается до:
$x^2 - 3x = 10$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Это квадратное уравнение мы уже решали в пункте в). Его корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x=-2$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $5$.
д)
Исходное уравнение: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, $t_1+t_2=10$ и $t_1 \cdot t_2=9$. Корни легко угадываются: $t_1=1$ и $t_2=9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.
Получили четыре корня.
Ответ: $-3; -1; 1; 3$.
е)
Исходное уравнение: $(2x-1)^4 - (2x-1)^2 = 12$.
Это уравнение сводится к квадратному с помощью замены. Пусть $t = (2x-1)^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - t = 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}$.
$t_1 = \frac{1+7}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{1-7}{2} = -3$.
Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_1=4$ подходит. Корень $t_2=-3$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.
Выполним обратную замену для $t=4$:
$(2x-1)^2 = 4$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$2x-1 = 2$ или $2x-1 = -2$.
Решим каждое из двух линейных уравнений:
1. $2x = 2+1 \implies 2x=3 \implies x = \frac{3}{2}$.
2. $2x = -2+1 \implies 2x=-1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 33 расположенного на странице 14 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №33 (с. 14), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.