Номер 33, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 33, страница 14.

Условие.

33. Решите уравнение:

а) $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x};$

б) $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2-2x} = \frac{1}{x};$

в) $x^2 - 3\sqrt{x^2} = 10;$

г) $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 = 10;$

д) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$

е) $(2x - 1)^4 - (2x - 1)^2 = 12.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x^2+x} = \frac{1}{x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x^2+x \neq 0 \implies x(x+1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -1$.

$x \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x(x+1)}$

Так как мы работаем в ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+1)$ и избавиться от дробей:

$x^2 - 1 = x+1$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{1+3}{2} = 2$

$x_2 = \frac{1-3}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x=2$ удовлетворяет условиям $x \neq 0$ и $x \neq -1$. Корень $x=-1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: $2$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2-2x} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю.

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x^2-2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.

$x \neq 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Общий знаменатель $x(x-2)$. Приводим к нему дроби:

$\frac{x \cdot x}{x(x-2)} - \frac{4}{x(x-2)} = \frac{1 \cdot (x-2)}{x(x-2)}$

Умножаем на $x(x-2)$:

$x^2 - 4 = x-2$

Переносим все в левую часть:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это то же самое уравнение, что и в пункте а). Его корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x=2$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x=-1$ удовлетворяет условиям $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Ответ: $-1$.

в)

Исходное уравнение: $x^2 - 3\sqrt{x^2} = 10$.

Учтем, что $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 3|x| - 10 = 0$

Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение становится:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$.

$x_1 = \frac{3+7}{2} = 5$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.

$x_2 = \frac{3-7}{2} = -2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение становится:

$x^2 - 3(-x) - 10 = 0$

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

$x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.

$x_3 = \frac{-3+7}{2} = 2$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.

$x_4 = \frac{-3-7}{2} = -5$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $-5; 5$.

г)

Исходное уравнение: $x^2 - 3(\sqrt{x})^2 = 10$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.

В области допустимых значений $(\sqrt{x})^2 = x$. Уравнение упрощается до:

$x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Это квадратное уравнение мы уже решали в пункте в). Его корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x=-2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $5$.

д)

Исходное уравнение: $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, $t_1+t_2=10$ и $t_1 \cdot t_2=9$. Корни легко угадываются: $t_1=1$ и $t_2=9$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $x^2 = t_1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

2. $x^2 = t_2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Получили четыре корня.

Ответ: $-3; -1; 1; 3$.

е)

Исходное уравнение: $(2x-1)^4 - (2x-1)^2 = 12$.

Это уравнение сводится к квадратному с помощью замены. Пусть $t = (2x-1)^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - t = 12$

$t^2 - t - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}$.

$t_1 = \frac{1+7}{2} = 4$.

$t_2 = \frac{1-7}{2} = -3$.

Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_1=4$ подходит. Корень $t_2=-3$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t=4$:

$(2x-1)^2 = 4$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$2x-1 = 2$ или $2x-1 = -2$.

Решим каждое из двух линейных уравнений:

1. $2x = 2+1 \implies 2x=3 \implies x = \frac{3}{2}$.

2. $2x = -2+1 \implies 2x=-1 \implies x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}$.