Номер 35, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Упражнения. Повторение курса алгебры 8 класса - номер 35, страница 14.

Условие.

35. Укажите множество значений функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3;$

б) $y = -3x^2 + 4;$

в) $y = (x - 3)^2 + 5;$

г) $y = -(x - 4)^2 - 2.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$

Данная функция является квадратичной. График функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$, он положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция принимает в своей вершине. Для функции вида $y = ax^2 + c$ вершина находится в точке $(0; c)$. В данном случае вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Таким образом, наименьшее значение функции равно ординате вершины, то есть $y_{min} = -3$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция может принимать любые значения, большие или равные -3.
Ответ: $E(y) = [-3; +\infty)$.

б) $y = -3x^2 + 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -3, он отрицателен ($a < 0$), значит, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функция принимает в своей вершине. Вершина параболы вида $y = ax^2 + c$ находится в точке $(0; c)$. Для данной функции вершина находится в точке $(0; 4)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть $y_{max} = 4$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция может принимать любые значения, меньшие или равные 4.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 4]$.

в) $y = (x - 3)^2 + 5$

Это квадратичная функция, заданная в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где вершина параболы находится в точке $(h; k)$. В данном случае $a=1$, $h=3$, $k=5$. Координаты вершины параболы: $(3; 5)$. Коэффициент $a=1$ положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, наименьшее значение функции равно ординате вершины, $y_{min} = 5$. Также можно рассуждать так: выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x - 3)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0. Тогда наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 5 = 5$.
Ответ: $E(y) = [5; +\infty)$.

г) $y = -(x - 4)^2 - 2$

Это квадратичная функция, заданная в виде $y = a(x - h)^2 + k$. В данном случае $a=-1$, $h=4$, $k=-2$. Координаты вершины параболы: $(4; -2)$. Коэффициент $a=-1$ отрицателен, поэтому ветви параболы направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции равно ординате вершины, $y_{max} = -2$. Также можно рассуждать так: выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, $(x - 4)^2 \ge 0$. Тогда выражение $-(x - 4)^2$ всегда неположительно: $-(x - 4)^2 \le 0$. Его наибольшее значение равно 0. Тогда наибольшее значение всей функции $y$ равно $0 - 2 = -2$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -2]$.