Номер 865, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 865, страница 242.

Условие.

865. Какова вероятность того, что наугад взятое решение системы неравенств $$\begin{cases} -2 \le x \le 4, \\ -3 \le y \le 2 \end{cases}$$ является решением и системы неравенств $$\begin{cases} 1 \le x \le 3, \\ -2 \le y \le 1? \end{cases}$$

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача является задачей на геометрическую вероятность. Множество всех возможных исходов представляет собой геометрическое место точек $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют первой системе неравенств. Это множество образует прямоугольник на координатной плоскости.

Первая система неравенств задает область $G_1$:$ \begin{cases} -2 \le x \le 4 \\ -3 \le y \le 2 \end{cases} $Эта область представляет собой прямоугольник с вершинами в точках $(-2, -3)$, $(4, -3)$, $(4, 2)$ и $(-2, 2)$.Найдем его площадь $S_1$, которая является мерой множества всех возможных исходов. Длина прямоугольника по оси $x$ равна $ \Delta x_1 = 4 - (-2) = 6 $. Высота по оси $y$ равна $ \Delta y_1 = 2 - (-3) = 5 $.Площадь равна:$ S_1 = \Delta x_1 \cdot \Delta y_1 = 6 \cdot 5 = 30 $.

Благоприятным исходом является событие, при котором наугад взятое решение первой системы также является решением второй системы. Это означает, что точка $(x, y)$ должна принадлежать множеству решений второй системы.Вторая система неравенств задает область $G_2$:$ \begin{cases} 1 \le x \le 3 \\ -2 \le y \le 1 \end{cases} $Эта область также является прямоугольником.

Проверим взаимное расположение областей $G_1$ и $G_2$.Интервал для $x$ из второй системы, $[1, 3]$, полностью содержится в интервале для $x$ из первой системы, $[-2, 4]$, так как $ -2 \le 1 $ и $ 3 \le 4 $.Интервал для $y$ из второй системы, $[-2, 1]$, полностью содержится в интервале для $y$ из первой системы, $[-3, 2]$, так как $ -3 \le -2 $ и $ 1 \le 2 $.Следовательно, прямоугольник $G_2$ полностью находится внутри прямоугольника $G_1$. Таким образом, множество благоприятных исходов совпадает с областью $G_2$.

Найдем площадь области благоприятных исходов $S_2$. Длина прямоугольника $G_2$ по оси $x$ равна $ \Delta x_2 = 3 - 1 = 2 $. Высота по оси $y$ равна $ \Delta y_2 = 1 - (-2) = 3 $.Площадь равна:$ S_2 = \Delta x_2 \cdot \Delta y_2 = 2 \cdot 3 = 6 $.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению площади области благоприятных исходов $S_2$ к площади всей области возможных исходов $S_1$:$ P = \frac{S_2}{S_1} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $