Номер 872, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 872, страница 243.

Условие.

872. В круг радиуса $R$ вписан правильный шестиугольник. Какова вероятность того, что случайно взятая точка круга является точкой и шестиугольника?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка из одной фигуры (круга) попадет в другую фигуру (правильный шестиугольник), вписанную в первую, равна отношению их площадей.

Пусть $S_{круга}$ — это площадь круга, а $S_{шест}$ — это площадь вписанного правильного шестиугольника. Тогда искомая вероятность $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{S_{шест}}{S_{круга}}$

1. Найдем площадь круга радиуса $R$. Формула площади круга:

$S_{круга} = \pi R^2$

2. Найдем площадь правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса $R$. Такой шестиугольник состоит из 6 одинаковых равносторонних треугольников. Сторона каждого такого треугольника равна радиусу описанной окружности, то есть $a = R$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Подставив $a=R$, получаем площадь одного треугольника:

$S_{\triangle} = \frac{R^2 \sqrt{3}}{4}$

Так как шестиугольник состоит из шести таких треугольников, его площадь равна:

$S_{шест} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{R^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}$

3. Теперь найдем вероятность, разделив площадь шестиугольника на площадь круга:

$P = \frac{\frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}}{\pi R^2}$

Сокращаем $R^2$ в числителе и знаменателе:

$P = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}$

Ответ: $\frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}$