Номер 876, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 876, страница 244.

Условие.

876. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 8 см, а прилежащий к нему угол равен $30^\circ$, вписан круг. Какова вероятность того, что произвольно взятая точка треугольника принадлежит этому кругу?

Решение.

Решение 2 (rus).

Вероятность того, что произвольно взятая точка внутри треугольника окажется внутри вписанного в него круга, равна отношению площади круга к площади треугольника. Обозначим искомую вероятность как $P$.

$P = \frac{S_{круга}}{S_{треугольника}}$

1. Найдем площадь равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 8$ см. Углы при основании равны $\angle A = \angle C = 30^\circ$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Катет $BH$ (высота треугольника $ABC$) можно найти через тангенс угла $C$:

$BH = HC \cdot \tan(\angle C) = 4 \cdot \tan(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC$:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см².

2. Найдем площадь вписанного круга.

Для этого сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности. Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника и лежит на высоте $BH$. Обозначим центр как $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHC$. $OH$ — это радиус вписанной окружности, $OH=r$. $CO$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle OCH = \frac{\angle C}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Из треугольника $OHC$ находим радиус $r$:

$r = OH = HC \cdot \tan(\angle OCH) = 4 \cdot \tan(15^\circ)$.

Вычислим значение $\tan(15^\circ)$ по формуле тангенса разности:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$:

$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь находим радиус: $r = 4 \cdot (2 - \sqrt{3})$ см.

Площадь вписанного круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$:

$S_{круга} = \pi \cdot (4(2 - \sqrt{3}))^2 = 16\pi (2 - \sqrt{3})^2 = 16\pi (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 16\pi (7 - 4\sqrt{3})$ см².

3. Вычислим искомую вероятность.

Подставим найденные значения площадей в формулу для вероятности:

$P = \frac{S_{круга}}{S_{треугольника}} = \frac{16\pi(7 - 4\sqrt{3})}{\frac{16}{\sqrt{3}}} = \pi(7 - 4\sqrt{3})\sqrt{3} = \pi(7\sqrt{3} - 4(\sqrt{3})^2) = \pi(7\sqrt{3} - 12)$.

Ответ: $ \pi(7\sqrt{3} - 12) $.