Номер 877, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 877, страница 244.

Условие.

877. В правильном пятиугольнике проведены все диагонали, при пересечении которых получается еще один пятиугольник. Какова вероятность того, что наугад взятая точка данного пятиугольника является точкой полученного пятиугольника?

Решение.

Решение 2 (rus).

Искомая вероятность является отношением площади малого (внутреннего) пятиугольника, образованного пересечением диагоналей, к площади большого (исходного) пятиугольника. Это задача на геометрическую вероятность.

Пусть $S_{большой}$ — площадь исходного правильного пятиугольника, а $S_{малый}$ — площадь внутреннего пятиугольника. Вероятность $P$ равна:$P = \frac{S_{малый}}{S_{большой}}$

Внутренний пятиугольник, образованный пересечением диагоналей правильного пятиугольника, также является правильным. Поэтому оба пятиугольника подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$, который, в свою очередь, равен отношению их сторон:$P = (\frac{s_{малый}}{s_{большой}})^2 = k^2$где $s_{большой}$ — сторона большого пятиугольника, а $s_{малый}$ — сторона малого.

Пусть сторона большого пятиугольника $s_{большой} = a$. Найдем длину его диагонали $d$. Внутренний угол правильного пятиугольника равен $(5-2) \cdot 180^\circ / 5 = 108^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя сторонами и диагональю пятиугольника. Углы при основании (диагонали) этого треугольника равны $(180^\circ - 108^\circ) / 2 = 36^\circ$.

По теореме синусов для этого треугольника:$\frac{a}{\sin(36^\circ)} = \frac{d}{\sin(108^\circ)}$$d = a \cdot \frac{\sin(108^\circ)}{\sin(36^\circ)} = a \cdot \frac{\sin(180^\circ - 72^\circ)}{\sin(36^\circ)} = a \cdot \frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)} = a \cdot \frac{2\sin(36^\circ)\cos(36^\circ)}{\sin(36^\circ)} = 2a\cos(36^\circ)$

Известно, что $\cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4} = \frac{\phi}{2}$, где $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение.Следовательно, диагональ $d = a \cdot 2 \cdot \frac{\phi}{2} = a\phi$. Отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике равно золотому сечению.

Теперь найдем длину стороны малого пятиугольника $s_{малый}$. Рассмотрим одну из диагоналей, например, $AC$. Она пересекается двумя другими диагоналями, скажем, $BE$ и $BD$ в точках $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ является стороной внутреннего пятиугольника, то есть $s_{малый} = PQ$.Рассмотрим треугольник, образованный стороной большого пятиугольника $BC$ и двумя отрезками диагоналей $BQ$ и $CQ$. Углы этого треугольника $\angle QCB = 36^\circ$ и $\angle QBC = 36^\circ$ (как углы при основаниях в равнобедренных треугольниках $ABC$ и $BCD$). Следовательно, треугольник $BCQ$ равнобедренный с углами $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$. Отрезок $CQ$ можно найти по теореме синусов:$\frac{CQ}{\sin(36^\circ)} = \frac{BC}{\sin(108^\circ)} = \frac{a}{\sin(108^\circ)}$$CQ = a \cdot \frac{\sin(36^\circ)}{\sin(108^\circ)} = \frac{a}{2\cos(36^\circ)} = \frac{a}{\phi}$

По симметрии, отрезок $AP$ на другом конце диагонали $AC$ также равен $a/\phi$. Длина диагонали $d$ складывается из трех отрезков: $d = AP + PQ + QC$.$a\phi = \frac{a}{\phi} + s_{малый} + \frac{a}{\phi}$$s_{малый} = a\phi - \frac{2a}{\phi} = a(\phi - \frac{2}{\phi})$Используя свойство золотого сечения $\phi^2 = \phi + 1$, из которого следует $\frac{1}{\phi} = \phi - 1$, получим:$s_{малый} = a(\phi - 2(\phi - 1)) = a(\phi - 2\phi + 2) = a(2 - \phi)$

Теперь найдем коэффициент подобия $k$:$k = \frac{s_{малый}}{s_{большой}} = \frac{a(2 - \phi)}{a} = 2 - \phi$

Искомая вероятность $P$ равна квадрату коэффициента подобия:$P = k^2 = (2 - \phi)^2 = (2 - \frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = (\frac{4 - (1+\sqrt{5})}{2})^2 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2$$P = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$