Номер 875, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 875, страница 243.

Условие.

875. Вершинами квадрата являются вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну. Какова вероятность того, что наугад взятая точка восьмиугольника принадлежит квадрату?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка из одной фигуры попадет в другую фигуру, вложенную в первую, равна отношению их площадей.

Пусть $P$ – искомая вероятность, $S_{квадрата}$ – площадь квадрата, а $S_{восьмиугольника}$ – площадь правильного восьмиугольника. Тогда вероятность определяется формулой:

$P = \frac{S_{квадрата}}{S_{восьмиугольника}}$

Чтобы найти площади обеих фигур, удобно рассмотреть их вписанными в одну и ту же окружность. Пусть радиус этой окружности равен $R$.

1. Найдем площадь правильного восьмиугольника ($S_{восьмиугольника}$).

Правильный восьмиугольник можно разбить на 8 одинаковых равнобедренных треугольников с вершиной в центре описанной окружности. Боковые стороны каждого такого треугольника равны радиусу $R$, а угол между ними равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. В нашем случае:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2}R^2 \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}R^2$

Площадь всего восьмиугольника равна сумме площадей восьми таких треугольников:

$S_{восьмиугольника} = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}R^2 = 2\sqrt{2}R^2$

2. Найдем площадь квадрата ($S_{квадрата}$).

Вершины квадрата являются вершинами восьмиугольника, взятыми через одну. Это означает, что квадрат также вписан в ту же окружность радиуса $R$. Диагональ такого квадрата является диаметром описанной окружности, то есть $d = 2R$.

Площадь квадрата можно найти через его диагональ по формуле $S = \frac{d^2}{2}$:

$S_{квадрата} = \frac{(2R)^2}{2} = \frac{4R^2}{2} = 2R^2$

3. Вычислим искомую вероятность.

Теперь подставим найденные значения площадей в формулу вероятности:

$P = \frac{S_{квадрата}}{S_{восьмиугольника}} = \frac{2R^2}{2\sqrt{2}R^2}$

Сократив $2R^2$, получаем:

$P = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$P = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.