Номер 868, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 868, страница 243.

Условие.

868. На плоскости построены две концентрические окружности, отношение радиусов которых равно 2. Какова вероятность того, что наудачу взятая точка круга большего радиуса принадлежит кольцу, образованному этими окружностями?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи применяется геометрическое определение вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятствующей этому событию области к мере всей области возможных исходов.

Пусть радиус меньшей окружности равен $r$, а радиус большей окружности — $R$.Из условия задачи известно, что отношение радиусов равно 2:$\frac{R}{r} = 2$, откуда следует, что $R = 2r$.

Областью всех возможных исходов является круг большего радиуса. Его площадь, которую мы обозначим как $S_{общ}$, вычисляется по формуле:$S_{общ} = \pi R^2$.

Благоприятствующей областью является кольцо, образованное двумя окружностями. Его площадь, $S_{бл}$, равна разности площадей большего и меньшего кругов:$S_{бл} = S_{большего\_круга} - S_{меньшего\_круга} = \pi R^2 - \pi r^2$.

Вероятность $P$ того, что наудачу взятая точка из большего круга попадёт в кольцо, равна отношению площади кольца к площади большего круга:$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\pi R^2 - \pi r^2}{\pi R^2}$.

Сократив $\pi$ в числителе и знаменателе, получим:$P = \frac{R^2 - r^2}{R^2}$.

Теперь подставим в полученное выражение соотношение $R = 2r$:$P = \frac{(2r)^2 - r^2}{(2r)^2} = \frac{4r^2 - r^2}{4r^2} = \frac{3r^2}{4r^2} = \frac{3}{4}$.

В десятичной дроби это значение равно 0.75.
Ответ: 0.75