Номер 867, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 867, страница 242.

Условие.

867. В координатной плоскости построен круг радиуса $1,5$ с центром в начале координат. Какова вероятность того, что наудачу взятая точка этого круга с целочисленными координатами является его центром?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно найти общее количество точек с целочисленными координатами, которые находятся внутри заданного круга, а затем найти вероятность выбора среди них точки, являющейся центром.

Круг задан своим центром в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$, и радиусом $R = 1,5$. Точка с координатами $(x, y)$ принадлежит этому кругу (включая его границу), если выполняется неравенство:$x^2 + y^2 \le R^2$

Подставим значение радиуса:$x^2 + y^2 \le (1,5)^2$$x^2 + y^2 \le 2,25$

Нам нужно найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому неравенству. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то из неравенства следует, что $x^2 \le 2,25$ и $y^2 \le 2,25$. Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то их квадраты ($x^2$ и $y^2$) могут быть только 0 или 1. Следовательно, возможные целые значения для $x$ и $y$ — это $-1, 0, 1$.

Теперь переберем все возможные комбинации целых чисел $x$ и $y$ и проверим, удовлетворяют ли они неравенству:

1. Если $x=0$, то $0^2 + y^2 \le 2,25 \implies y^2 \le 2,25$. Целочисленные значения $y$, удовлетворяющие этому условию: $-1, 0, 1$. Это дает нам три точки: $(0, -1), (0, 0), (0, 1)$.

2. Если $x=1$, то $1^2 + y^2 \le 2,25 \implies y^2 \le 1,25$. Целочисленные значения $y$, удовлетворяющие этому условию: $-1, 0, 1$. Это дает нам еще три точки: $(1, -1), (1, 0), (1, 1)$.

3. Если $x=-1$, то $(-1)^2 + y^2 \le 2,25 \implies y^2 \le 1,25$. Целочисленные значения $y$, удовлетворяющие этому условию: $-1, 0, 1$. Это дает нам еще три точки: $(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1)$.

Всего мы нашли $3 + 3 + 3 = 9$ точек с целочисленными координатами, принадлежащих кругу. Это общее число равновозможных исходов ($N$).Полный список точек:$(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0), (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)$.

Событие, вероятность которого мы ищем, заключается в том, что выбранная точка является центром круга. Центр круга — это точка $(0, 0)$. Эта точка входит в наш список, значит, количество благоприятных исходов ($m$) равно 1.

Вероятность $P$ события вычисляется по формуле классической вероятности:$P = \frac{m}{N}$где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

Подставляя наши значения, получаем:$P = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$