Номер 870, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 870, страница 243.

Условие.

870. Какова вероятность того, что наугад взятая точка квадрата принадлежит закрашенной фигуре (рисунок 80)?

Рисунок 80

Решение.

Решение 2 (rus).

Вероятность того, что наугад взятая точка квадрата принадлежит закрашенной фигуре, определяется по принципу геометрической вероятности. Она равна отношению площади закрашенной фигуры ($S_{фигуры}$) к площади всего квадрата ($S_{квадрата}$).

$P = \frac{S_{фигуры}}{S_{квадрата}}$

1. Найдем площадь квадрата.

Из рисунка видно, что сторона квадрата состоит из двух отрезков длиной $r$, то есть ее общая длина равна $2r$. Площадь квадрата вычисляется по формуле: $S_{квадрата} = (сторона)^2 = (2r)^2 = 4r^2$.

2. Найдем площадь закрашенной фигуры.

Площадь закрашенной фигуры можно найти, если из площади всего квадрата вычесть площади незакрашенных частей. Незакрашенные части представляют собой три фигуры:

• Полукруг в нижней части квадрата. Его диаметр совпадает со стороной квадрата и равен $2r$, следовательно, его радиус равен $r$.
• Две четверти круга в верхних углах квадрата. Радиус каждой из этих четвертей равен $r$.

Вычислим площади этих незакрашенных частей:

• Площадь полукруга: $S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$.
• Площадь одной четверти круга: $S_{четверти} = \frac{1}{4} \pi r^2$.

Суммарная площадь всех незакрашенных частей ($S_{незакр.}$) равна: $S_{незакр.} = S_{полукруга} + 2 \cdot S_{четверти} = \frac{1}{2} \pi r^2 + 2 \cdot \left(\frac{1}{4} \pi r^2\right) = \frac{1}{2} \pi r^2 + \frac{1}{2} \pi r^2 = \pi r^2$.

Теперь найдем площадь закрашенной фигуры, вычитая из площади квадрата суммарную площадь незакрашенных частей: $S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{незакр.} = 4r^2 - \pi r^2 = (4 - \pi)r^2$.

3. Вычислим вероятность.

Подставим найденные значения площадей в формулу для вероятности: $P = \frac{S_{фигуры}}{S_{квадрата}} = \frac{(4 - \pi)r^2}{4r^2}$.

Сократив $r^2$ в числителе и знаменателе, получим: $P = \frac{4 - \pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{\pi}{4}$.