Номер 869, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 869, страница 243.

Условие.

869. Круговая мишень радиуса 12 см разделена пятью концентрическими окружностями, радиус первой из которых равен 2 см, а каждой следующей – на 2 см больше предыдущей. Какова вероятность попадания выстрела в мишень:

а) в первое кольцо;

б) в предпоследнее кольцо, считая от центра?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность попадания в определенную область мишени равна отношению площади этой области к общей площади всей мишени. Площадь круга находится по формуле $S = \pi r^2$.

Общий радиус мишени $R = 12$ см. Ее общая площадь $S_{общ}$ составляет:

$S_{общ} = \pi R^2 = \pi \cdot 12^2 = 144\pi$ см².

Мишень разделена пятью концентрическими окружностями. Радиус первой окружности $r_1 = 2$ см. Радиус каждой следующей на 2 см больше предыдущей. Таким образом, радиусы окружностей, делящих мишень, равны:

$r_1 = 2$ см

$r_2 = 2 + 2 = 4$ см

$r_3 = 4 + 2 = 6$ см

$r_4 = 6 + 2 = 8$ см

$r_5 = 8 + 2 = 10$ см

Эти окружности вместе с внешней границей мишени (с радиусом $R=12$ см) образуют центральный круг и 5 колец. Пронумеруем кольца, начиная от центра:

Кольцо 1: между окружностями с радиусами $r_1$ и $r_2$.

Кольцо 2: между окружностями с радиусами $r_2$ и $r_3$.

Кольцо 3: между окружностями с радиусами $r_3$ и $r_4$.

Кольцо 4: между окружностями с радиусами $r_4$ и $r_5$.

Кольцо 5: между окружностью с радиусом $r_5$ и внешней границей мишени (радиус $R$).

а) в первое кольцо;

Первое кольцо — это область между окружностями с радиусами $r_1 = 2$ см и $r_2 = 4$ см. Его площадь $S_{к1}$ равна разности площадей кругов, которые эти окружности ограничивают:

$S_{к1} = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi (4^2 - 2^2) = \pi (16 - 4) = 12\pi$ см².

Вероятность попадания в первое кольцо $P(A)$ равна отношению площади этого кольца к общей площади мишени:

$P(A) = \frac{S_{к1}}{S_{общ}} = \frac{12\pi}{144\pi} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

б) в предпоследнее кольцо, считая от центра?

Всего в мишени 5 колец. Предпоследним кольцом, считая от центра, является четвертое. Оно находится между окружностями с радиусами $r_4 = 8$ см и $r_5 = 10$ см. Найдем площадь этого кольца $S_{к4}$:

$S_{к4} = \pi r_5^2 - \pi r_4^2 = \pi (10^2 - 8^2) = \pi (100 - 64) = 36\pi$ см².

Вероятность попадания в предпоследнее (четвертое) кольцо $P(B)$ равна:

$P(B) = \frac{S_{к4}}{S_{общ}} = \frac{36\pi}{144\pi} = \frac{36}{144} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.