Вопросы, страница 242 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - страница 242.

Условие.

Объясните на примере понятие геометрической вероятности.

Решение.

Решение 2 (rus).

Геометрическая вероятность используется в тех случаях, когда пространство элементарных исходов бесконечно и представляет собой некоторое геометрическое множество (отрезок, часть плоскости, тело в пространстве). В отличие от классического определения, где вероятность находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов, в геометрическом подходе вероятность определяется как отношение "меры" (длины, площади, объёма) области благоприятных исходов к "мере" всей области возможных исходов.

Общая формула для вероятности $P$ события $A$, которое заключается в попадании случайной точки в область $A$, являющуюся подмножеством области всех возможных исходов $\Omega$, выглядит так:

$P(A) = \frac{\text{мера}(A)}{\text{мера}(\Omega)}$

Рассмотрим это понятие на конкретных примерах.

Пример 1: Попадание в мишень

Предположим, есть квадратная доска для дартса со стороной 40 см. В этот квадрат вписан круг. Мы бросаем дротик наугад, и он гарантированно попадает в пределы квадратной доски. Какова вероятность того, что дротик попадёт в круг?

Решение:

1. Сначала определим область всех возможных исходов, $\Omega$. Это вся поверхность квадратной доски. Её мерой является площадь. Площадь квадрата ($S_{\Omega}$) со стороной $a=40$ см равна: $S_{\Omega} = a^2 = 40^2 = 1600 \text{ см}^2$.

2. Теперь определим область благоприятных исходов, $A$. Это поверхность круга, в который мы хотим попасть. Его мерой также является площадь. Поскольку круг вписан в квадрат, его диаметр равен стороне квадрата, то есть $d = 40$ см. Следовательно, радиус круга $r = \frac{d}{2} = 20$ см. Площадь круга ($S_A$) равна: $S_A = \pi r^2 = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \text{ см}^2$.

3. Теперь можем вычислить вероятность, разделив площадь благоприятных исходов (круга) на площадь всех возможных исходов (квадрата): $P(A) = \frac{S_A}{S_{\Omega}} = \frac{400\pi}{1600} = \frac{\pi}{4}$.

Если подставить примерное значение $\pi \approx 3.14159$, получим $P(A) \approx \frac{3.14159}{4} \approx 0.7854$. Это означает, что вероятность попадания в круг составляет примерно 78.54%.

Ответ: Вероятность попадания в круг равна $\frac{\pi}{4}$.

Пример 2: Задача о встрече

Два друга договорились встретиться в определенном месте между 12:00 и 13:00. Каждый из них приходит в случайный момент времени в этом промежутке. Пришедший первым ждёт другого 15 минут, а затем уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Решение:

1. Обозначим моменты прихода друзей как $x$ и $y$. Поскольку они приходят в промежутке от 12:00 до 13:00 (длительностью 60 минут), мы можем считать, что $0 \le x \le 60$ и $0 \le y \le 60$. Эти условия задают на плоскости $xOy$ квадрат со стороной 60. Площадь этого квадрата является мерой всех возможных исходов. $S_{\Omega} = 60 \cdot 60 = 3600$.

2. Встреча состоится, если разница между моментами их прихода не превышает 15 минут. Это можно записать в виде неравенства: $|x - y| \le 15$. Это неравенство равносильно системе из двух неравенств: $-15 \le x - y \le 15$, что можно переписать как $y \le x + 15$ и $y \ge x - 15$. Эти два неравенства определяют на плоскости полосу, которая, пересекаясь с нашим квадратом, образует область благоприятных исходов $A$.

3. Чтобы найти площадь этой области, проще вычесть из площади всего квадрата площади двух "неблагоприятных" треугольников по углам. Первый треугольник определяется условиями $y > x + 15$, $x \ge 0$, $y \le 60$. Второй — $y < x - 15$, $y \ge 0$, $x \le 60$. Эти треугольники — прямоугольные и равнобедренные. Катет каждого из них равен $60 - 15 = 45$. Площадь одного треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot 45 = \frac{2025}{2} = 1012.5$. Суммарная площадь двух треугольников: $2 \cdot 1012.5 = 2025$. Площадь благоприятной области $S_A$ равна: $S_A = S_{\Omega} - 2 \cdot S_{\triangle} = 3600 - 2025 = 1575$.

4. Находим вероятность встречи: $P(A) = \frac{S_A}{S_{\Omega}} = \frac{1575}{3600} = \frac{1575 \div 225}{3600 \div 225} = \frac{7}{16}$.

Ответ: Вероятность того, что встреча состоится, равна $\frac{7}{16}$.