Номер 871, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 871, страница 243.

Условие.

871. В круг радиуса 5 см вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что произвольно взятая точка круга принадлежит этому треугольнику?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Вероятность того, что точка, случайным образом выбранная из некоторой фигуры, попадёт в её часть, равна отношению площади этой части к площади всей фигуры.

В нашем случае, общая фигура — это круг, а его часть — вписанный равносторонний треугольник. Искомая вероятность $P$ будет равна отношению площади треугольника $S_{треуг}$ к площади круга $S_{круга}$.

$P = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}}$

1. Найдём площадь круга

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.По условию, радиус $R = 5$ см.Подставим это значение в формулу:

$S_{круга} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см$^2$.

2. Найдём площадь вписанного равностороннего треугольника

Существует формула, связывающая сторону $a$ равностороннего треугольника с радиусом $R$ описанной около него окружности: $a = R\sqrt{3}$.Зная радиус $R = 5$ см, найдём сторону треугольника:

$a = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.Подставим значение стороны $a$:

$S_{треуг} = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(25 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

3. Вычислим вероятность

Теперь, когда у нас есть обе площади, мы можем найти вероятность, разделив площадь треугольника на площадь круга:

$P = \frac{S_{треуг}}{S_{круга}} = \frac{\frac{75\sqrt{3}}{4}}{25\pi}$

Упростим полученное выражение:

$P = \frac{75\sqrt{3}}{4 \cdot 25\pi} = \frac{3 \cdot 25 \cdot \sqrt{3}}{4 \cdot 25 \cdot \pi}$

Сократив на 25, получим окончательный результат:

$P = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} $