Занимательные задачи 1, страница 244 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - страница 244.

Условие.

1) В тире посетитель целится в круглую мишень радиусом 0,5 м, разделенную концентрическими окружностями на части. Найдите с точностью до 0,001 вероятность того, что он попадет в выделенный в этой мишени сектор, радиус которого 0,1 м, а центральный угол 1 радиан, если не промахнется по мишени.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи мы будем последовательно вычислять значения требуемых выражений, используя данное нам равенство $a + \frac{1}{a} = 5$.

$a^2 + \frac{1}{a^2}$

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.Возведем в квадрат обе части исходного равенства $a + \frac{1}{a} = 5$:
$(a + \frac{1}{a})^2 = 5^2$
$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = 25$
Так как $a \cdot \frac{1}{a} = 1$, уравнение упрощается:
$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 25$
Теперь выразим искомую сумму, перенеся 2 в правую часть:
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 - 2 = 23$
Ответ: 23

$a^3 + \frac{1}{a^3}$

Для нахождения этого значения можно использовать формулу суммы кубов, которая выражается через сумму оснований: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Более прямой путь — использовать следствие из формулы куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, которое можно переписать как $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Применим эту формулу для $x=a$ и $y=\frac{1}{a}$:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \cdot (a + \frac{1}{a})$
Упростим выражение:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a})$
Подставим известное значение $a + \frac{1}{a} = 5$:
$a^3 + \frac{1}{a^3} = 5^3 - 3 \cdot 5 = 125 - 15 = 110$
Ответ: 110

$a^4 + \frac{1}{a^4}$

Выражение $a^4 + \frac{1}{a^4}$ можно рассматривать как сумму квадратов: $(a^2)^2 + (\frac{1}{a^2})^2$.Мы можем найти его значение, возведя в квадрат уже известное нам выражение $a^2 + \frac{1}{a^2}$.
$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} + (\frac{1}{a^2})^2$
Упрощаем:
$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = a^4 + 2 + \frac{1}{a^4}$
Выражаем отсюда искомую сумму:
$a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2$
Из первого пункта мы знаем, что $a^2 + \frac{1}{a^2} = 23$. Подставляем это значение в формулу:
$a^4 + \frac{1}{a^4} = 23^2 - 2 = 529 - 2 = 527$
Ответ: 527

Таким образом, искомая последовательность чисел: 23, 110, 527.