Номер 873, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 873, страница 243.

Условие.

873. В равностороннем треугольнике, периметр которого равен 24 см, содержится квадрат со стороной 2 см. Какова вероятность того, что произвольно взятая точка треугольника не будет принадлежать квадрату?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка из большей фигуры не попадет в меньшую фигуру, находящуюся внутри нее, определяется как отношение разности их площадей к площади большей фигуры.

Пусть событие A заключается в том, что произвольно взятая точка треугольника не принадлежит квадрату. Вероятность этого события $P(A)$ можно найти по формуле:$P(A) = \frac{S_{треугольника} - S_{квадрата}}{S_{треугольника}} = 1 - \frac{S_{квадрата}}{S_{треугольника}}$

Для вычисления вероятности необходимо найти площади обеих фигур.

1. Нахождение стороны и площади равностороннего треугольника

Периметр равностороннего треугольника равен 24 см. Так как все три стороны у такого треугольника равны, то длина одной стороны $a_{тр}$ составляет:$a_{тр} = \frac{24 \text{ см}}{3} = 8 \text{ см}$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны нашего треугольника:$S_{треугольника} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$

2. Нахождение площади квадрата

По условию, сторона квадрата $a_{кв}$ равна 2 см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле: $S = a^2$.

$S_{квадрата} = 2^2 = 4 \text{ см}^2$

3. Расчет вероятности

Теперь, имея значения площадей, мы можем вычислить искомую вероятность:$P(A) = 1 - \frac{S_{квадрата}}{S_{треугольника}} = 1 - \frac{4}{16\sqrt{3}} = 1 - \frac{1}{4\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:$P(A) = 1 - \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{12}$

Этот же результат можно представить в виде одной дроби:$P(A) = \frac{12}{12} - \frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{12 - \sqrt{3}}{12}$

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{12}$.