Номер 874, страница 243 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

33. Геометрическая вероятность. V. Элементы теории вероятностей - номер 874, страница 243.

Условие.

874. Два действительных числа $x$ и $y$ выбирают наугад так, что сумма их квадратов меньше $81$. Какова вероятность того, что сумма квадратов $x$ и $y$ окажется больше $49$?

Решение.

Решение 2 (rus).

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Пару действительных чисел $x$ и $y$ можно рассматривать как координаты точки $(x, y)$ на плоскости.

Условие, что числа $x$ и $y$ выбирают так, что сумма их квадратов меньше 81, задает область всех возможных исходов. Это условие описывается неравенством $x^2 + y^2 < 81$. Геометрически это внутренность круга с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{81} = 9$. Площадь этой области, которая представляет собой меру всех возможных исходов, равна:

$S_{общ} = \pi R^2 = \pi \cdot 9^2 = 81\pi$.

Нам нужно найти вероятность того, что сумма квадратов $x$ и $y$ окажется больше 49. Это событие описывается неравенством $x^2 + y^2 > 49$. Геометрически это область вне круга с центром в начале координат и радиусом $r = \sqrt{49} = 7$.

Так как мы выбираем точки из области $x^2 + y^2 < 81$, то область благоприятных исходов — это точки, которые удовлетворяют обоим условиям: $49 < x^2 + y^2 < 81$. Геометрически это кольцо, заключенное между двумя окружностями с радиусами $r=7$ и $R=9$.

Площадь этого кольца (мера благоприятных исходов) равна разности площадей большего и меньшего кругов:

$S_{бл} = S_{общ} - S_{малого\_круга} = \pi R^2 - \pi r^2 = 81\pi - \pi \cdot 7^2 = 81\pi - 49\pi = 32\pi$.

Вероятность искомого события равна отношению площади благоприятных исходов к площади всех возможных исходов:

$P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{32\pi}{81\pi} = \frac{32}{81}$.

Ответ: $\frac{32}{81}$