Номер 163, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163.Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Поскольку в условии задачи не уточнено, могут ли цифры в числе повторяться, необходимо рассмотреть два возможных сценария.

Случай, когда цифры в числе могут повторяться

Для составления четырёхзначного числа из набора {1, 2, 3, 4, 5} необходимо заполнить четыре позиции: тысячи, сотни, десятки и единицы. Так как цифры могут повторяться, для каждой из четырёх позиций существует 5 возможных вариантов выбора (любая из цифр от 1 до 5). По комбинаторному правилу произведения, общее количество способов равно произведению количества вариантов для каждой позиции. Это соответствует числу размещений с повторениями из 5 элементов по 4, которое вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$, где $n=5$ и $k=4$. Таким образом, общее число комбинаций составляет $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

Ответ: 625.

Случай, когда цифры в числе не могут повторяться

В этом случае выбор цифры для каждой следующей позиции зависит от предыдущих выборов. Для первой позиции (тысяч) есть 5 вариантов. Для второй позиции (сотен) остаётся 4 варианта, так как одна цифра уже использована. Для третьей позиции (десятков) остаётся 3 варианта. Для четвёртой позиции (единиц) остаётся 2 варианта. Общее количество чисел находится произведением числа вариантов для каждой позиции. Это является числом размещений без повторений из 5 элементов по 4, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Таким образом, общее число комбинаций составляет $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Ответ: 120.