Номер 164, страница 65 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Сколько чётных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7?

Для решения задачи необходимо составить пятизначное число из набора цифр {1, 3, 5, 6, 7}. При этом число должно удовлетворять двум условиям: быть чётным и иметь все различные цифры.

1. Условие чётности числа.
Число является чётным, если его последняя цифра (цифра в разряде единиц) — чётная. Из предложенных цифр {1, 3, 5, 6, 7} только одна является чётной — это 6. Следовательно, любое искомое число должно оканчиваться на 6.

Таким образом, последняя позиция в пятизначном числе (_ _ _ _ _) зафиксирована, и для неё есть только 1 вариант:
_ _ _ _ 6

2. Условие различия цифр и расстановка оставшихся цифр.
Все цифры в числе должны быть различными. Поскольку мы уже использовали цифру 6 для последней позиции, для заполнения оставшихся четырёх позиций у нас остаются четыре цифры: {1, 3, 5, 7}.

Теперь определим количество способов расставить эти 4 цифры по 4 оставшимся местам:

• На первую позицию (разряд десятков тысяч) можно поставить любую из 4 оставшихся цифр. Есть 4 варианта.
• На вторую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из 3 оставшихся цифр. Есть 3 варианта.
• На третью позицию (разряд сотен) можно поставить любую из 2 оставшихся цифр. Есть 2 варианта.
• На четвёртую позицию (разряд десятков) остаётся последняя, 1 цифра. Есть 1 вариант.

3. Вычисление общего количества чисел.
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это соответствует числу перестановок из 4 элементов ($P_4$).

Количество чисел = $4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 4! = 24$.

Следовательно, можно составить 24 различных чётных пятизначных числа из заданных цифр.

Ответ: 24