Номер 6, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 2. Глава 3. Элементы прикладной математики. Параграф 19. Классическое определение вероятности - номер 6, страница 65.

Условие.

6. В коробке лежит 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Какова вероятность того, что на карточке, вынутой наугад, будет записано число, которое:

1) кратно числу 6;

2) не кратно ни числу 3, ни числу 5?

Решение.

Ответ: 1) _____; 2) ______

Решение.

По условию в коробке лежат 24 карточки, пронумерованные от 1 до 24. Это означает, что общее число равновозможных исходов при вытягивании одной карточки равно $n = 24$.

1) кратно числу 6
Пусть событие A заключается в том, что на вынутой карточке записано число, кратное 6.
Найдем количество исходов, благоприятствующих этому событию. Для этого перечислим все числа от 1 до 24, которые делятся на 6 без остатка:
6, 12, 18, 24.
Таких чисел 4, следовательно, число благоприятных исходов $m = 4$.
Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

2) не кратно ни числу 3, ни числу 5
Пусть событие B заключается в том, что на карточке записано число, которое не является кратным ни числу 3, ни числу 5.
Чтобы найти количество благоприятных исходов $m$, сначала найдем количество "неблагоприятных" исходов, то есть чисел, которые кратны 3 или 5.
1. Количество чисел, кратных 3 (от 1 до 24): $24 \div 3 = 8$ чисел.
2. Количество чисел, кратных 5 (от 1 до 24): $\lfloor 24 \div 5 \rfloor = 4$ числа (это 5, 10, 15, 20).
3. Количество чисел, кратных одновременно 3 и 5, то есть кратных 15: $\lfloor 24 \div 15 \rfloor = 1$ число (это 15).
Используя формулу включений-исключений, найдем количество чисел, кратных 3 или 5:
$N(\text{кратны 3 или 5}) = (\text{кратные 3}) + (\text{кратные 5}) - (\text{кратные 15}) = 8 + 4 - 1 = 11$.
Таким образом, существует 11 "неблагоприятных" исходов.
Количество благоприятных исходов (чисел, не кратных ни 3, ни 5) равно разности общего числа исходов и числа неблагоприятных исходов:
$m = 24 - 11 = 13$.
Вероятность события B равна:
$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{13}{24}$.
Ответ: $\frac{13}{24}$