Номер 1006, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1006. В каком отношении надо смешать 30-процентный и 10-процентный растворы соляной кислоты, чтобы получить 15-процентный раствор?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод (составление уравнения) или арифметический метод, известный как "правило креста".

Способ 1: Составление и решение уравнения

Пусть необходимо взять $m_1$ граммов 30-процентного раствора и $m_2$ граммов 10-процентного раствора. Мы ищем отношение $m_1 : m_2$.

Масса чистой соляной кислоты в первом растворе равна $0.30 \cdot m_1$.
Масса чистой соляной кислоты во втором растворе равна $0.10 \cdot m_2$.

При смешивании этих растворов общая масса полученного раствора будет $m_1 + m_2$.
Общая масса чистой кислоты в полученном растворе будет $0.30 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2$.

По условию, концентрация конечного раствора должна быть 15%, или 0.15. Концентрация раствора — это отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора. Составим уравнение:

$ \frac{0.30 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2}{m_1 + m_2} = 0.15 $

Умножим обе части уравнения на $(m_1 + m_2)$:

$ 0.30 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.15 \cdot (m_1 + m_2) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 0.30 \cdot m_1 + 0.10 \cdot m_2 = 0.15 \cdot m_1 + 0.15 \cdot m_2 $

Сгруппируем слагаемые с $m_1$ в левой части, а с $m_2$ — в правой:

$ 0.30 \cdot m_1 - 0.15 \cdot m_1 = 0.15 \cdot m_2 - 0.10 \cdot m_2 $

$ 0.15 \cdot m_1 = 0.05 \cdot m_2 $

Чтобы найти отношение $m_1$ к $m_2$, разделим обе части уравнения на $m_2$ и на 0.15:

$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{0.05}{0.15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $

Следовательно, отношение масс 30-процентного и 10-процентного растворов равно $1:3$.

Способ 2: Правило смешения ("правило креста")

Этот метод позволяет наглядно найти требуемое соотношение. Расположим концентрации исходных растворов (в процентах) слева, а желаемую концентрацию — посередине.

$ \begin{matrix} 30 & & \\ & \searrow & \\ & 15 & \\ & \nearrow & \\ 10 & & \end{matrix} $

Теперь находим разности по диагоналям (из большего числа вычитаем меньшее) и записываем результаты справа.

Напротив концентрации 30% записываем разность $15 - 10 = 5$. Это число соответствует количеству массовых частей 30-процентного раствора.
Напротив концентрации 10% записываем разность $30 - 15 = 15$. Это число соответствует количеству массовых частей 10-процентного раствора.

$ \begin{matrix} 30 & \rightarrow & (15-10) = 5 \text{ частей} \\ & & \\ 10 & \rightarrow & (30-15) = 15 \text{ частей} \end{matrix} $

Таким образом, для получения нужного раствора следует взять 5 частей 30-процентного раствора и 15 частей 10-процентного раствора. Их отношение составляет:

$ 5 : 15 $

Сократив это отношение на 5, получим:

$ 1 : 3 $

Ответ: 30-процентный и 10-процентный растворы соляной кислоты надо смешать в отношении 1:3.