Номер 1007, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1007. К сплаву магния и алюминия, содержавшему 15 кг алюминия, добавили 4 кг магния, после чего процентное содержание магния в сплаве повысилось на $12.5\%$. Какой была первоначальная масса этого сплава?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная масса магния в сплаве в килограммах.

По условию, в сплаве содержалось 15 кг алюминия.

Тогда первоначальная масса всего сплава была равна $(x + 15)$ кг.

Концентрация (доля) магния в первоначальном сплаве составляла: $C_1 = \frac{\text{масса магния}}{\text{масса всего сплава}} = \frac{x}{x+15}$

К сплаву добавили 4 кг магния. Новая масса магния стала $(x + 4)$ кг.

Новая масса всего сплава стала $(x + 15) + 4 = (x + 19)$ кг.

Новая концентрация магния в сплаве стала: $C_2 = \frac{x+4}{x+19}$

По условию, процентное содержание магния повысилось на 12,5%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 12,5%, или 0,125 в долях. $12,5\% = \frac{12,5}{100} = 0,125 = \frac{1}{8}$

Составим уравнение, исходя из того, что $C_2 - C_1 = 0,125$: $\frac{x+4}{x+19} - \frac{x}{x+15} = \frac{1}{8}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+19)(x+15)$: $\frac{(x+4)(x+15) - x(x+19)}{(x+19)(x+15)} = \frac{1}{8}$

Раскроем скобки в числителе левой части: $\frac{(x^2 + 15x + 4x + 60) - (x^2 + 19x)}{(x+19)(x+15)} = \frac{1}{8}$

Упростим числитель: $\frac{x^2 + 19x + 60 - x^2 - 19x}{(x+19)(x+15)} = \frac{1}{8}$

$\frac{60}{(x+19)(x+15)} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $60 \cdot 8 = 1 \cdot (x+19)(x+15)$

$480 = x^2 + 15x + 19x + 285$

$480 = x^2 + 34x + 285$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 34x + 285 - 480 = 0$

$x^2 + 34x - 195 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 34^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-195) = 1156 + 780 = 1936$

Найдем корни уравнения: $\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$

$x_1 = \frac{-34 - 44}{2} = \frac{-78}{2} = -39$

$x_2 = \frac{-34 + 44}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Поскольку масса не может быть отрицательной величиной, корень $x_1 = -39$ не имеет физического смысла. Значит, первоначальная масса магния в сплаве была 5 кг.

Вопрос задачи — найти первоначальную массу всего сплава. Она равна сумме масс магния и алюминия: $M_{\text{перв}} = x + 15 = 5 + 15 = 20$ кг.

Ответ: 20 кг.