Номер 1008, страница 278 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1008. Смешав 40-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 8 кг воды, получили 20-процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 кг 70-процентного раствора, то получили бы раствор, концентрация которого составила бы 61 %. Сколько взяли 40-процентного раствора?

Пусть $x$ кг — масса 40-процентного раствора кислоты, а $y$ кг — масса 60-процентного раствора. Задача сводится к составлению и решению системы двух уравнений с двумя неизвестными, исходя из двух описанных сценариев.

1. Составление первого уравнения (смешивание с водой)

При смешивании $x$ кг 40-процентного раствора, $y$ кг 60-процентного раствора и 8 кг воды, общая масса полученного раствора составляет $m_1 = x + y + 8$ кг.
Масса чистой кислоты в 40-процентном растворе равна $0.4x$ кг, а в 60-процентном — $0.6y$ кг. Вода кислоты не содержит.
Общая масса чистой кислоты в итоговом растворе: $m_{к1} = 0.4x + 0.6y$ кг.
По условию, концентрация полученного раствора составляет 20% (или 0.2). Концентрация вычисляется как отношение массы кислоты к общей массе раствора: $ \frac{m_{к1}}{m_1} = \frac{0.4x + 0.6y}{x + y + 8} = 0.2 $

Упростим это уравнение, умножив обе части на знаменатель:
$ 0.4x + 0.6y = 0.2(x + y + 8) $
$ 0.4x + 0.6y = 0.2x + 0.2y + 1.6 $
Перенесем переменные в левую часть, а числа — в правую:
$ 0.4x - 0.2x + 0.6y - 0.2y = 1.6 $
$ 0.2x + 0.4y = 1.6 $
Для удобства умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$ x + 2y = 8 \quad (1) $

2. Составление второго уравнения (смешивание с 70% раствором)

Если бы вместо воды добавили 5 кг 70-процентного раствора, то общая масса нового раствора была бы $m_2 = x + y + 5$ кг.
Масса чистой кислоты в 5 кг 70-процентного раствора составляет $5 \cdot 0.7 = 3.5$ кг.
Общая масса чистой кислоты во втором итоговом растворе: $m_{к2} = 0.4x + 0.6y + 3.5$ кг.
По условию, концентрация этого раствора составила бы 61% (или 0.61): $ \frac{m_{к2}}{m_2} = \frac{0.4x + 0.6y + 3.5}{x + y + 5} = 0.61 $

Упростим второе уравнение:
$ 0.4x + 0.6y + 3.5 = 0.61(x + y + 5) $
$ 0.4x + 0.6y + 3.5 = 0.61x + 0.61y + 3.05 $
Перенесем переменные в правую часть, а числа — в левую:
$ 3.5 - 3.05 = 0.61x - 0.4x + 0.61y - 0.6y $
$ 0.45 = 0.21x + 0.01y $
Умножим обе части уравнения на 100:
$ 45 = 21x + y \quad (2) $

3. Решение системы уравнений

Теперь решим систему из двух полученных линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 8 \\ 21x + y = 45 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:
$ y = 45 - 21x $

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$ x + 2(45 - 21x) = 8 $
$ x + 90 - 42x = 8 $
$ -41x = 8 - 90 $
$ -41x = -82 $
$ x = \frac{-82}{-41} $
$ x = 2 $

Таким образом, масса 40-процентного раствора, которую взяли для смешивания, составляет 2 кг.

Ответ: 2 кг.