Номер 10, страница 63, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Белага, Воронцова

Часть 1. Глава 1. Основы кинематики. Параграф 15. Решение задач. Задачи для самостоятельного решения - номер 10, страница 63.

Условие.

10. Свободно падающее тело за последнюю секунду проходит половину своего пути. Определите время и высоту падения.

Решение.

Дано:

$v_0 = 0$ м/с (тело падает свободно)

$\Delta t_{посл} = 1$ с (время движения на последнем участке)

$\Delta h_{посл} = H/2$ (путь, пройденный за последнюю секунду, равен половине всего пути)

$g \approx 9.8$ м/с$^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{t}$ — полное время падения

$\text{H}$ — полная высота падения

Решение:

Движение тела является равноускоренным без начальной скорости. Полная высота падения $\text{H}$ связана с полным временем падения $\text{t}$ формулой:

$H = \frac{gt^2}{2}$ (1)

За последнюю секунду тело проходит половину пути. Это означает, что за время $t_1 = t - 1$ с (все время падения, кроме последней секунды) тело прошло путь, равный первой половине высоты, то есть $h_1 = H/2$. Запишем уравнение для этого участка пути:

$h_1 = \frac{g(t-1)^2}{2}$ (2)

Поскольку $h_1 = H/2$, мы можем приравнять половину выражения (1) к выражению (2):

$\frac{1}{2} \left( \frac{gt^2}{2} \right) = \frac{g(t-1)^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на $g/2$:

$\frac{t^2}{2} = (t-1)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку время $\text{t}$ и $t-1$ должны быть положительными, берем положительные значения корней:

$\frac{t}{\sqrt{2}} = t-1$

Теперь решим это уравнение относительно $\text{t}$:

$t - \frac{t}{\sqrt{2}} = 1$

$t \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1$

$t \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right) = 1$

$t = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}+1)$:

$t = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-1} = 2+\sqrt{2}$

Вычислим приближенное значение времени падения:

$t = 2 + \sqrt{2} \approx 2 + 1.414 = 3.414$ с $\approx 3.4$ с.

Теперь, зная время, найдем высоту падения $\text{H}$ по формуле (1):

$H = \frac{g t^2}{2} = \frac{g (2+\sqrt{2})^2}{2}$

$H = \frac{g(4 + 4\sqrt{2} + 2)}{2} = \frac{g(6 + 4\sqrt{2})}{2} = g(3 + 2\sqrt{2})$

Вычислим приближенное значение высоты падения, используя $g \approx 9.8$ м/с$^2$:

$H \approx 9.8 \cdot (3 + 2 \cdot 1.414) = 9.8 \cdot (3 + 2.828) = 9.8 \cdot 5.828 \approx 57.11$ м $\approx 57$ м.

Ответ: время падения $t = 2 + \sqrt{2} \approx 3.4$ с, высота падения $H = g(3 + 2\sqrt{2}) \approx 57$ м.