Номер 52, страница 30, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 2. Прямолинейное равномерное движение - номер 52, страница 30.

Условие.

52. Средняя скорость велосипедиста на всём пути равна $12 \text{ км/ч}$. С какой скоростью он проехал первую половину пути, если вторую половину пути он проехал со скоростью $9 \text{ км/ч}$?

Решение.

Дано:

Средняя скорость на всём пути $v_{ср} = 12 \text{ км/ч}$

Скорость на второй половине пути $v_2 = 9 \text{ км/ч}$

$v_{ср} = 12 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{120}{36} \text{ м/с} = \frac{10}{3} \text{ м/с} \approx 3.33 \text{ м/с}$

$v_2 = 9 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{90}{36} \text{ м/с} = \frac{5}{2} \text{ м/с} = 2.5 \text{ м/с}$

Найти:

Скорость на первой половине пути $v_1$

Решение:

Обозначим весь путь как $\text{S}$. Тогда первая и вторая половины пути равны $S_1 = S_2 = S/2$.

Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ - весь пройденный путь, а $t_{общ}$ - всё время движения.

Весь путь $S_{общ} = S_1 + S_2 = S/2 + S/2 = S$.

Общее время движения равно сумме времён, затраченных на каждый участок: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1}$.

Время, затраченное на прохождение второй половины пути: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2}$.

Подставим выражения для времени в формулу для общего времени:

$t_{общ} = \frac{S/2}{v_1} + \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$.

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$.

Эта формула является средним гармоническим двух скоростей и применяется, когда равны проходимые расстояния.

Выразим из этой формулы искомую скорость $v_1$.

$\frac{1}{v_{ср}} = \frac{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}{2}$

$\frac{2}{v_{ср}} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$

$\frac{1}{v_1} = \frac{2}{v_{ср}} - \frac{1}{v_2}$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{v_1} = \frac{2v_2 - v_{ср}}{v_{ср}v_2}$

Отсюда находим $v_1$:

$v_1 = \frac{v_{ср}v_2}{2v_2 - v_{ср}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_1 = \frac{12 \text{ км/ч} \cdot 9 \text{ км/ч}}{2 \cdot 9 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч}} = \frac{108}{18 - 12} \text{ км/ч} = \frac{108}{6} \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость велосипедиста на первой половине пути равна 18 км/ч.