Номер 10, страница 43, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 10, страница 43.

Условие.

10. Докажите, что $l = \frac{v^2}{2a}$

Решение.

Решение

Для доказательства данной формулы воспользуемся основными кинематическими уравнениями для тела, движущегося прямолинейно с постоянным ускорением $\text{a}$.

Зависимость скорости от времени описывается уравнением:

$v = v_0 + at$ (1)

Зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением:

$l = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ (2)

В этих уравнениях $v_0$ — начальная скорость, $\text{v}$ — конечная скорость, $\text{l}$ — пройденный путь, а $\text{t}$ — время движения.

Чтобы получить формулу, не содержащую время, выразим $\text{t}$ из уравнения (1):

$t = \frac{v - v_0}{a}$

Теперь подставим полученное выражение для времени $\text{t}$ в уравнение (2):

$l = v_0 \left( \frac{v - v_0}{a} \right) + \frac{a}{2} \left( \frac{v - v_0}{a} \right)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$l = \frac{v_0v - v_0^2}{a} + \frac{a(v^2 - 2vv_0 + v_0^2)}{2a^2} = \frac{v_0v - v_0^2}{a} + \frac{v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2a$:

$l = \frac{2(v_0v - v_0^2)}{2a} + \frac{v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a} = \frac{2v_0v - 2v_0^2 + v^2 - 2vv_0 + v_0^2}{2a}$

Сократив подобные члены в числителе, получим общую формулу для пути при равноускоренном движении, не зависящую от времени:

$l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Формула, которую требуется доказать, $l = \frac{v^2}{2a}$, является частным случаем этой общей формулы. Она справедлива, когда тело начинает движение из состояния покоя, то есть его начальная скорость $v_0 = 0$.

Подставим $v_0 = 0$ в выведенную общую формулу:

$l = \frac{v^2 - 0^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}$

Эта формула описывает путь $\text{l}$, который проходит тело, разгоняясь из состояния покоя до скорости $\text{v}$ с постоянным ускорением $\text{a}$.

Данная формула также верна для случая, когда тело, имея начальную скорость $\text{v}$, тормозит до полной остановки (конечная скорость равна 0). В этом случае ускорение будет отрицательным, $a_{торм} = -a$, где $\text{a}$ — модуль ускорения. Тогда $l = \frac{0^2 - v^2}{2(-a)} = \frac{-v^2}{-2a} = \frac{v^2}{2a}$.

Таким образом, формула доказана. Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $l = \frac{v^2}{2a}$ является следствием основных кинематических уравнений для равноускоренного движения ($v = v_0 + at$ и $l = v_0 t + \frac{at^2}{2}$) при условии, что начальная скорость $v_0 = 0$.