Номер 13, страница 44, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 13, страница 44.

Условие.

13. Тело движется прямолинейно равноускоренно вдоль оси $\text{x}$.

Начальная скорость тела равна по модулю $v_0$, скорость тела при его движении в течение рассматриваемого промежутка времени уменьшается по модулю.

а) Докажите, что зависимость модуля скорости от времени выражается формулой $v = v_0 - at$, где $\text{a}$ — модуль ускорения.

б) Докажите, что зависимость пути от времени выражается формулой $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$.

в) Докажите, что в этом случае пройденный путь выражается через начальную и конечную скорости формулой $l = \frac{v_0^2 - v^2}{2a}$.

Решение.

Дано:

Движение — прямолинейное, равноускоренное.
Модуль начальной скорости: $v_0$.
Модуль скорости уменьшается, т.е. движение является равнозамедленным.

Найти:

Доказать формулы:
а) $v = v_0 - at$
б) $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$
в) $l = \frac{v_0^2 - v^2}{2a}$
где $\text{v}$ — модуль конечной скорости, $\text{l}$ — пройденный путь, $\text{t}$ — время, $\text{a}$ — модуль ускорения.

Решение:

а) Докажите, что зависимость модуля скорости от времени выражается формулой $v = v_0 - at$, где $\text{a}$ — модуль ускорения.
Общее уравнение для проекции скорости на ось $\text{x}$ при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$.
Направим ось $\text{x}$ по направлению начального движения тела. В этом случае проекция начальной скорости на ось $\text{x}$ будет положительна и равна ее модулю: $v_{0x} = v_0$.
По условию задачи, модуль скорости тела уменьшается. Это означает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости. Следовательно, проекция ускорения на ось $\text{x}$ будет отрицательной: $a_x = -a$, где $\text{a}$ — это модуль ускорения ($a > 0$).
Подставим полученные значения проекций в общее уравнение скорости:
$v_x(t) = v_0 + (-a)t = v_0 - at$.
Поскольку тело движется прямолинейно и в течение рассматриваемого времени не меняет направления, модуль скорости $\text{v}$ равен модулю проекции скорости $v_x$. Так как скорость уменьшается, но остается направленной вдоль оси $\text{x}$ ($v_x \ge 0$), то $v = v_x$.
Таким образом, зависимость модуля скорости от времени выражается формулой $v = v_0 - at$.

Ответ: Формула $v = v_0 - at$ доказана на основе общего уравнения для скорости при равноускоренном движении с учетом того, что при равнозамедленном движении проекция ускорения на ось, сонаправленную с начальной скоростью, отрицательна.

б) Докажите, что зависимость пути от времени выражается формулой $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$.
Общее уравнение для проекции перемещения на ось $\text{x}$ при прямолинейном равноускоренном движении: $s_x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.
При прямолинейном движении без смены направления пройденный путь $\text{l}$ равен модулю перемещения: $l = |s_x(t)|$.
Используя те же самые проекции, что и в пункте (а), а именно $v_{0x} = v_0$ и $a_x = -a$, подставим их в уравнение для проекции перемещения:
$s_x(t) = v_0 t + \frac{(-a) t^2}{2} = v_0 t - \frac{at^2}{2}$.
Так как тело движется в положительном направлении оси $\text{x}$ и не меняет направление своего движения, проекция перемещения $s_x(t)$ положительна. Следовательно, пройденный путь $\text{l}$ равен этой проекции.
Таким образом, зависимость пройденного пути от времени выражается формулой $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$.

Ответ: Формула $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$ доказана на основе общего уравнения для перемещения при равноускоренном движении с учетом знаков проекций скорости и ускорения.

в) Докажите, что в этом случае пройденный путь выражается через начальную и конечную скорости формулой $l = \frac{v_0^2 - v^2}{2a}$.
Для доказательства воспользуемся двумя формулами, выведенными ранее:
1) $v = v_0 - at$
2) $l = v_0t - \frac{at^2}{2}$
Чтобы получить формулу, связывающую путь со скоростями, необходимо исключить время $\text{t}$ из этих двух уравнений.
Из уравнения (1) выразим время $\text{t}$:
$at = v_0 - v \implies t = \frac{v_0 - v}{a}$.
Теперь подставим это выражение для времени $\text{t}$ в уравнение (2):
$l = v_0 \left( \frac{v_0 - v}{a} \right) - \frac{a}{2} \left( \frac{v_0 - v}{a} \right)^2$.
Выполним алгебраические преобразования:
$l = \frac{v_0(v_0 - v)}{a} - \frac{a(v_0 - v)^2}{2a^2} = \frac{v_0^2 - v_0v}{a} - \frac{(v_0 - v)^2}{2a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $2a$:
$l = \frac{2(v_0^2 - v_0v)}{2a} - \frac{v_0^2 - 2v_0v + v^2}{2a}$.
Объединим числители:
$l = \frac{2v_0^2 - 2v_0v - (v_0^2 - 2v_0v + v^2)}{2a} = \frac{2v_0^2 - 2v_0v - v_0^2 + 2v_0v - v^2}{2a}$.
Сократим подобные слагаемые в числителе:
$l = \frac{v_0^2 - v^2}{2a}$.
Таким образом, искомая формула доказана.

Ответ: Формула $l = \frac{v_0^2 - v^2}{2a}$ доказана путем исключения времени из уравнений зависимости скорости и пути от времени для равнозамедленного движения.