Номер 12, страница 43, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 12, страница 43.

Условие.

12. Тело движется прямолинейно равноускоренно вдоль оси x. Начальная скорость тела равна по модулю $v_0$, скорость тела при его движении увеличивается по модулю.

a) Докажите, что в этом случае зависимость модуля скорости от времени выражается формулой $v = v_0 + at$, где $\text{a}$ — модуль ускорения.

б) Докажите, что зависимость пути от времени выражается формулой $l = v_0t + \frac{at^2}{2}$.

в) Докажите, что в этом случае пройденный путь выражается через начальную и конечную скорости формулой $l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

Решение.

В условии задачи рассматривается прямолинейное равноускоренное движение, при котором модуль скорости увеличивается. Это означает, что векторы начальной скорости $\vec{v_0}$ и ускорения $\vec{a}$ сонаправлены. Выберем ось $\text{x}$ так, чтобы она совпадала с направлением движения. В этом случае проекции векторов скорости и ускорения на ось $\text{x}$ будут равны их модулям и будут положительными: $v_{0x} = v_0$, $v_x = v$, $a_x = a$. Пройденный путь $\text{l}$ будет равен модулю перемещения $\Delta x$.

а) Докажите, что в этом случае зависимость модуля скорости от времени выражается формулой $v = v_0 + at$, где $\text{a}$ — модуль ускорения.

Решение
По определению, ускорение при равноускоренном движении — это постоянная величина, равная отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t}$
где $\vec{v}$ — конечная скорость, $\vec{v_0}$ — начальная скорость, $\text{t}$ — время движения.
Спроецируем это векторное уравнение на ось $\text{x}$, вдоль которой движется тело:
$a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t}$
Так как движение происходит в одном направлении (скорость увеличивается по модулю), мы можем заменить проекции векторов на их модули: $a_x = a$, $v_x = v$, $v_{0x} = v_0$.
$a = \frac{v - v_0}{t}$
Выразим из этой формулы конечную скорость $\text{v}$:
$at = v - v_0$
$v = v_0 + at$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Зависимость модуля скорости от времени при равноускоренном движении с увеличением скорости доказывается из определения ускорения и имеет вид $v = v_0 + at$.

б) Докажите, что зависимость пути от времени выражается формулой $l = v_0t + \frac{at^2}{2}$.

Решение
При прямолинейном движении без смены направления пройденный путь $\text{l}$ численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$.
Зависимость $v(t) = v_0 + at$ является линейной, поэтому ее график — прямая линия. Фигура под графиком за время от $\text{0}$ до $\text{t}$ представляет собой трапецию.
Основаниями этой трапеции являются начальная скорость $v_0$ (при $t=0$) и конечная скорость $\text{v}$ (при $\text{t}$). Высотой трапеции является промежуток времени $\text{t}$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$l = S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
Подставим в эту формулу выражение для конечной скорости $\text{v}$ из пункта а): $v = v_0 + at$.
$l = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t$
Упростим выражение:
$l = \frac{2v_0 + at}{2} \cdot t$
$l = \left(\frac{2v_0}{2} + \frac{at}{2}\right) \cdot t$
$l = \left(v_0 + \frac{at}{2}\right) \cdot t$
$l = v_0t + \frac{at^2}{2}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Зависимость пути от времени доказывается через нахождение площади под графиком скорости и имеет вид $l = v_0t + \frac{at^2}{2}$.

в) Докажите, что в этом случае пройденный путь выражается через начальную и конечную скорости формулой $l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.

Решение
Для доказательства этой формулы воспользуемся двумя уравнениями, полученными ранее:
1) $v = v_0 + at$
2) $l = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
Наша задача — получить формулу для пути $\text{l}$, не содержащую время $\text{t}$. Для этого выразим время $\text{t}$ из первого уравнения:
$v - v_0 = at$
$t = \frac{v - v_0}{a}$
Теперь подставим это выражение для $\text{t}$ во второе уравнение:
$l = \frac{v_0 + v}{2} \cdot \left(\frac{v - v_0}{a}\right)$
$l = \frac{(v + v_0)(v - v_0)}{2a}$
В числителе мы видим формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Применим ее:
$l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула для пройденного пути, не зависящая от времени, доказывается путем исключения времени из системы уравнений для скорости и пути и имеет вид $l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.