Номер 7, страница 42, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава I. Кинематика. Параграф 4. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении - номер 7, страница 42.

Условие.

7. Тело было брошено вертикально вверх с высоты 15 м над поверхностью земли с начальной скоростью 10 м/с и упало на землю.

a) Сколько времени тело будет двигаться вверх?

б) Какой максимальной высоты над поверхностью земли достигнет тело?

в) Сколько времени тело будет двигаться вниз?

г) Чему равна по модулю скорость тела непосредственно перед падением на землю?

д) Начертите в тетради график зависимости $v_x(t)$ для всего времени полёта тела. Ось $\text{x}$ направьте вертикально вверх.

е) Чему равна проекция перемещения тела за первую секунду полёта?

ж) Чему равна проекция перемещения тела за всё время полёта?

з) Чему равен пройденный телом путь?

Решение.

Дано:

$h_0 = 15$ м (начальная высота)

$v_0 = 10$ м/с (начальная скорость)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

а) $t_{подъема}$ - время движения вверх

б) $h_{max}$ - максимальная высота

в) $t_{падения}$ - время движения вниз

г) $|v_{кон}|$ - модуль конечной скорости

д) график $v_x(t)$

е) $\Delta x_1$ - проекция перемещения за 1 с

ж) $\Delta x_{общ}$ - проекция перемещения за все время

з) $S_{общ}$ - пройденный путь

Решение:

Направим ось Ox вертикально вверх. Начало отсчета ($x=0$) поместим на поверхности земли. В этом случае начальная координата тела $x_0 = h_0 = 15$ м, проекция начальной скорости $v_{0x} = v_0 = 10$ м/с, а проекция ускорения свободного падения $g_x = -g = -10$ м/с².

Уравнение зависимости проекции скорости от времени: $v_x(t) = v_{0x} + g_x t = 10 - 10t$.

Уравнение движения (зависимости координаты от времени): $x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{g_x t^2}{2} = 15 + 10t - 5t^2$.

а) Сколько времени тело будет двигаться вверх?

Тело движется вверх до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю. В верхней точке траектории $v_x(t_{подъема}) = 0$.

Подставим это условие в уравнение скорости:

$0 = 10 - 10 \cdot t_{подъема}$

$10 \cdot t_{подъема} = 10$

$t_{подъема} = 1$ с

Ответ: 1 с.

б) Какой максимальной высоты над поверхностью земли достигнет тело?

Максимальная высота — это координата тела в момент времени $t = t_{подъема} = 1$ с.

Подставим это время в уравнение движения:

$h_{max} = x(1) = 15 + 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 15 + 10 - 5 = 20$ м

Ответ: 20 м.

в) Сколько времени тело будет двигаться вниз?

Сначала найдем общее время полета $t_{общ}$, то есть время, когда тело достигнет земли ($x=0$).

$0 = 15 + 10t_{общ} - 5t_{общ}^2$

Решим квадратное уравнение, разделив его на -5:

$t_{общ}^2 - 2t_{общ} - 3 = 0$

Корни уравнения по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 3$ с, $t_2 = -1$ с. Физический смысл имеет только положительный корень, поэтому $t_{общ} = 3$ с.

Время движения вниз (время падения) равно разности общего времени полета и времени подъема:

$t_{падения} = t_{общ} - t_{подъема} = 3 - 1 = 2$ с

Ответ: 2 с.

г) Чему равна по модулю скорость тела непосредственно перед падением на землю?

Скорость перед падением — это скорость в момент времени $t = t_{общ} = 3$ с.

Подставим это время в уравнение скорости:

$v_{x\_кон} = v_x(3) = 10 - 10 \cdot 3 = 10 - 30 = -20$ м/с

Знак минус означает, что скорость направлена вниз. Модуль скорости равен:

$|v_{кон}| = |-20| = 20$ м/с

Ответ: 20 м/с.

д) Начертите в тетради график зависимости $v_x(t)$ для всего времени полёта тела. Ось $\text{x}$ направьте вертикально вверх.

График зависимости проекции скорости от времени $v_x(t) = 10 - 10t$ представляет собой прямую линию. Для построения графика на интервале времени от $t=0$ до $t=3$ с найдем значения скорости в ключевых точках:

При $t=0$ с, $v_x(0) = 10$ м/с.

При $t=1$ с, $v_x(1) = 0$ м/с.

При $t=3$ с, $v_x(3) = -20$ м/с.

График — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0; 10)$ и $(3; -20)$ на координатной плоскости $(t, v_x)$, где $\text{t}$ - ось абсцисс, $v_x$ - ось ординат.

Ответ: График зависимости $v_x(t)$ — это отрезок прямой, проходящий через точки $(0; 10)$, $(1; 0)$ и $(3; -20)$.

е) Чему равна проекция перемещения тела за первую секунду полёта?

Перемещение за первую секунду — это изменение координаты с $t=0$ до $t=1$ с. За это время тело поднимается на максимальную высоту.

Проекция перемещения $\Delta x_1 = x(1) - x(0) = 20 - 15 = 5$ м.

Можно также использовать формулу $\Delta x_x = v_{0x} t + \frac{g_x t^2}{2}$:

$\Delta x_1 = 10 \cdot 1 + \frac{-10 \cdot 1^2}{2} = 10 - 5 = 5$ м

Ответ: 5 м.

ж) Чему равна проекция перемещения тела за всё время полёта?

Проекция перемещения за все время полета равна разности между конечной и начальной координатами.

Начальная координата $x_{нач} = x(0) = 15$ м.

Конечная координата $x_{кон} = x(3) = 0$ м.

$\Delta x_{общ} = x_{кон} - x_{нач} = 0 - 15 = -15$ м

Ответ: -15 м.

з) Чему равен пройденный телом путь?

Пройденный путь — это сумма длин участков траектории движения вверх и вниз.

Путь вверх: $S_{вверх} = h_{max} - h_0 = 20 - 15 = 5$ м.

Путь вниз: $S_{вниз} = h_{max} - 0 = 20 - 0 = 20$ м.

Общий путь: $S_{общ} = S_{вверх} + S_{вниз} = 5 + 20 = 25$ м

Ответ: 25 м.