Номер 14, страница 115, часть 1 - гдз по физике 9 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механические явления. Глава II. Динамика. Параграф 13. Движение системы тел - номер 14, страница 115.

Условие.

14. К бруску массой $m = 1$ кг с помощью нитей привязаны две гирьки массами $\text{m}$ и $\text{2m}$ соответственно (рис. 13.5). Чему равны ускорение такой системы тел и силы натяжения обеих нитей, если коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2?

Рис. 13.5

Решение.

Дано:

Масса бруска и левой гирьки: $m = 1$ кг

Масса правой гирьки: $2m = 2 \cdot 1 = 2$ кг

Коэффициент трения: $\mu = 0,2$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение системы: $\text{a}$ - ?

Сила натяжения левой нити: $T_1$ - ?

Сила натяжения правой нити: $T_2$ - ?

Решение:

Поскольку масса правой гирьки ($2m$) больше массы левой гирьки ($\text{m}$), движущая сила, создаваемая правой гирькой, будет больше силы, создаваемой левой. Поэтому система будет двигаться вправо: правая гирька будет опускаться, левая — подниматься, а брусок будет скользить по столу вправо. Ускорение всех тел системы будет одинаковым по модулю, обозначим его $\text{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на направление его движения.

1. Для правой гирьки (масса $2m$), движущейся вниз:

На нее действуют сила тяжести $2mg$ (вниз) и сила натяжения нити $T_2$ (вверх). Ось OY направим вниз.

$2mg - T_2 = (2m)a$ (1)

2. Для левой гирьки (масса $\text{m}$), движущейся вверх:

На нее действуют сила натяжения нити $T_1$ (вверх) и сила тяжести $mg$ (вниз). Ось OY направим вверх.

$T_1 - mg = ma$ (2)

3. Для бруска на столе (масса $\text{m}$), движущегося вправо:

По горизонтали на него действуют: сила натяжения правой нити $T_2$ (вправо), сила натяжения левой нити $T_1$ (влево) и сила трения скольжения $F_{тр}$ (влево). Ось OX направим вправо.

$T_2 - T_1 - F_{тр} = ma$ (3)

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры. По вертикали на брусок действуют сила тяжести $mg$ и сила $\text{N}$. Так как вертикального движения нет, эти силы уравновешивают друг друга: $N = mg$.

Следовательно, сила трения: $F_{тр} = \mu mg$.

Подставим это выражение в уравнение (3):

$T_2 - T_1 - \mu mg = ma$ (3')

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($a, T_1, T_2$). Для нахождения ускорения $\text{a}$ сложим все три уравнения (1), (2) и (3'):

$(2mg - T_2) + (T_1 - mg) + (T_2 - T_1 - \mu mg) = 2ma + ma + ma$

Силы натяжения $T_1$ и $T_2$ в левой части уравнения взаимно уничтожаются:

$2mg - mg - \mu mg = (2m + m + m)a$

$mg - \mu mg = 4ma$

$mg(1 - \mu) = 4ma$

Сократим обе части на массу $\text{m}$:

$g(1 - \mu) = 4a$

Отсюда выражаем ускорение:

$a = \frac{g(1 - \mu)}{4}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (1 - 0,2)}{4} = \frac{9,8 \cdot 0,8}{4} = \frac{7,84}{4} = 1,96 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная ускорение, найдем силы натяжения нитей.

Из уравнения (2) выразим $T_1$:

$T_1 = mg + ma = m(g + a)$

$T_1 = 1 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 + 1,96 \text{ м/с}^2) = 1 \cdot 11,76 = 11,76 \text{ Н}$

Из уравнения (1) выразим $T_2$:

$T_2 = 2mg - 2ma = 2m(g - a)$

$T_2 = 2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 - 1,96 \text{ м/с}^2) = 2 \cdot 7,84 = 15,68 \text{ Н}$

Ответ:

Ускорение системы тел равно $1,96 \text{ м/с}^2$. Сила натяжения нити, привязанной к гирьке массой $\text{m}$, равна $11,76 \text{ Н}$. Сила натяжения нити, привязанной к гирьке массой $2m$, равна $15,68 \text{ Н}$.