Номер 75, страница 297 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 75, страница 297.

Условие.

75. Спутник движется по круговой орбите на высоте 600 км над Землей. Чему равна скорость спутника? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

Высота орбиты $h = 600 \text{ км}$

Масса Земли $M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли $R = 6400 \text{ км}$

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 600 \text{ км} = 600 \cdot 10^3 \text{ м} = 6 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника $\text{v}$.

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая является центростремительной силой. Это означает, что сила гравитационного притяжения Земли равна центростремительной силе, удерживающей спутник на орбите.

Сила всемирного тяготения ($F_g$) вычисляется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты.

Центростремительная сила ($F_c$) определяется как:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

где $\text{v}$ — скорость спутника.

Приравнивая эти две силы ($F_g = F_c$), получаем:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сокращаем массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$ в знаменателе с обеих сторон, чтобы выразить скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{G M}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Радиус орбиты $\text{r}$ — это сумма радиуса Земли $\text{R}$ и высоты спутника над Землей $\text{h}$:

$r = R + h$

Вычислим радиус орбиты в метрах:

$r = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 6 \cdot 10^5 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,6 \cdot 10^6 \text{ м} = 7,0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{7,0 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

$v = \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{7 \cdot 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{5,717 \cdot 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7561 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для наглядности можно перевести скорость в километры в секунду:

$v \approx 7561 \text{ м/с} \approx 7,6 \text{ км/с}$

Ответ: скорость спутника равна примерно $7561 \text{ м/с}$ или $7,6 \text{ км/с}$.