Номер 77, страница 297 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 77, страница 297.

Условие.

77. Спутник движется по круговой орбите на высоте 300 км. За какое время он совершит один оборот вокруг Земли? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

Высота орбиты, $h = 300 \text{ км}$

Масса Земли, $M = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

$h = 300 \text{ км} = 300 \cdot 10^3 \text{ м} = 3 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Время одного оборота (период обращения), $\text{T}$ - ?

Решение:

Движение спутника по круговой орбите происходит под действием силы всемирного тяготения, которая выполняет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона, мы можем записать равенство силы тяготения $F_g$ и центростремительной силы $F_c$:

$F_g = F_c$

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $\text{m}$ — масса спутника, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, а $\text{r}$ — радиус орбиты. Радиус орбиты представляет собой сумму радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $\text{h}$.

Вычислим радиус орбиты:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.3 \cdot 10^6 \text{ м} = 6.7 \cdot 10^6 \text{ м}$

Из уравнения сил, сократив массу спутника $\text{m}$, можно выразить его скорость:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он равен отношению длины орбиты (длины окружности $2 \pi r$) к скорости движения $\text{v}$:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим в эту формулу выражение для скорости $\text{v}$, чтобы получить формулу для периода, зависящую от известных величин:

$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{G M}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу для расчета периода:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(6.7 \cdot 10^6 \text{ м})^3}{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}}$

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3.00763 \cdot 10^{20} \text{ м}^3}{4.002 \cdot 10^{14} \frac{\text{м}^3}{\text{с}^2}}} \approx 6.283 \cdot \sqrt{7.515 \cdot 10^5 \text{ с}^2}$

$T \approx 6.283 \cdot 866.9 \text{ с} \approx 5446 \text{ с}$

Результат можно также представить в минутах для наглядности:

$T \approx \frac{5446}{60} \approx 90.8 \text{ мин}$

Ответ: время, за которое спутник совершит один оборот вокруг Земли, составляет примерно $5446$ секунд (или $90.8$ минут).