Номер 76, страница 297 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 76, страница 297.

Условие.

76. Какую скорость должен иметь спутник Земли, чтобы двигаться вокруг неё по круговой орбите на высоте, равной половине радиуса Земли? Масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

$h = \frac{1}{2} R_З$

$M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг

$R_З = 6400$ км

Гравитационная постоянная $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна центростремительной силе:

$F_{тяг} = F_{ц}$

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник, определяется по формуле:

$F_{тяг} = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты спутника.

Центростремительная сила, действующая на спутник, равна:

$F_{ц} = m a_ц = m \frac{v^2}{r}$

где $\text{v}$ — скорость движения спутника по орбите.

Приравняем правые части уравнений:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$ в знаменателе:

$G \frac{M_З}{r} = v^2$

Отсюда находим формулу для скорости спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $\text{r}$ — это расстояние от центра Земли до спутника, которое складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $\text{h}$:

$r = R_З + h$

По условию задачи, высота орбиты равна половине радиуса Земли: $h = \frac{1}{2} R_З$.

Тогда радиус орбиты равен:

$r = R_З + \frac{1}{2} R_З = \frac{3}{2} R_З$

Подставим это выражение в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{\frac{3}{2} R_З}} = \sqrt{\frac{2 G M_З}{3 R_З}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{3 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{80.04 \cdot 10^{13}}{19.2 \cdot 10^6}} \frac{м}{с}$

$v \approx \sqrt{4.16875 \cdot 10^7} \text{ м/с} \approx \sqrt{41.6875 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 6456.6 \text{ м/с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как исходные данные имеют такую точность. Получаем $6.5 \cdot 10^3$ м/с или 6.5 км/с.

Ответ: скорость спутника должна быть примерно равна $6.5 \cdot 10^3$ м/с (или 6.5 км/с).