Номер 80, страница 297 - гдз по физике 9 класс учебник Громов, Родина

Задачи и упражнения - номер 80, страница 297.

Условие.

80. Чему равна первая космическая скорость для Луны, если её масса и радиус составляют примерно $7 \cdot 10^{22}$ кг и 1700 км соответственно?

Решение.

Дано:

Масса Луны, $M = 7 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус Луны, $R = 1700$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R = 1700 \text{ км} = 1700 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.7 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Первая космическая скорость, $v_1$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость – это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности небесного тела (в данном случае Луны), чтобы оно стало его искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для движения по такой орбите сила всемирного тяготения, действующая на спутник, должна быть равна центростремительной силе, удерживающей его на орбите.

Запишем второй закон Ньютона для спутника массой $\text{m}$, вращающегося вокруг Луны по орбите радиусом $\text{R}$ (равным радиусу Луны) со скоростью $v_1$:

$F_{центростремительная} = F_{тяготения}$

$\frac{m v_1^2}{R} = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{M}$ – масса Луны, $\text{R}$ – радиус Луны, а $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$ в уравнении:

$v_1^2 = G \frac{M}{R}$

Отсюда находим формулу для вычисления первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$v_1 = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 7 \cdot 10^{22} \text{ кг}}{1.7 \cdot 10^6 \text{ м}}}$

$v_1 = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 7}{1.7} \cdot \frac{10^{-11} \cdot 10^{22}}{10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 = \sqrt{\frac{46.69}{1.7} \cdot 10^{11-6}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 \approx \sqrt{27.46 \cdot 10^5} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{2.746 \cdot 10^6} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 \approx 1657 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Так как данные в условии задачи являются приблизительными, округлим результат до двух значащих цифр.

$v_1 \approx 1700 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 1.7 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: первая космическая скорость для Луны составляет примерно 1.7 км/с.