Номер 3, страница 24 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

3. Докажите, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к центру окружности.

Доказательство того, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к ее центру, можно провести, анализируя изменение вектора скорости.

Решение

Рассмотрим тело, движущееся с постоянной по модулю скоростью $\text{v}$ по окружности радиуса $\text{R}$. Такое движение называется равномерным движением по окружности.

1. Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к траектории. При движении по окружности направление этого вектора непрерывно изменяется, хотя его модуль ($|\vec{v}| = v$) остается постоянным. Изменение вектора скорости означает наличие ускорения.

2. Ускорение $\vec{a}$ по определению является пределом отношения изменения вектора скорости $\Delta \vec{v}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло, при $\Delta t \to 0$:

$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

где $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$. Здесь $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ – векторы скорости в моменты времени $t_1$ и $t_2 = t_1 + \Delta t$ соответственно.

3. Рассмотрим два близких положения тела на окружности, $M_1$ и $M_2$. Векторы скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ в этих точках равны по модулю ($|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$), но различны по направлению. Вектор $\vec{v}_1$ перпендикулярен радиусу $OM_1$, а вектор $\vec{v}_2$ перпендикулярен радиусу $OM_2$. Угол между радиусами $OM_1$ и $OM_2$ равен $\Delta \varphi$. Так как векторы скорости перпендикулярны соответствующим радиусам, угол между векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ также равен $\Delta \varphi$.

4. Чтобы найти вектор изменения скорости $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$, построим векторный треугольник. Перенесем вектор $\vec{v}_2$ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора $\vec{v}_1$. Вектор $\Delta \vec{v}$ соединит конец вектора $\vec{v}_1$ с концом вектора $\vec{v}_2$.

5. Полученный треугольник, образованный векторами $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\Delta \vec{v}$, является равнобедренным, так как две его стороны равны по модулю ($|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$). Угол при вершине этого треугольника равен $\Delta \varphi$. Углы при основании равны $(180^\circ - \Delta \varphi) / 2 = 90^\circ - \Delta \varphi / 2$.

6. Нас интересует направление вектора ускорения, которое совпадает с направлением вектора $\Delta \vec{v}$ в пределе при $\Delta t \to 0$. Когда $\Delta t$ стремится к нулю, точка $M_2$ стремится к точке $M_1$, и угол $\Delta \varphi$ также стремится к нулю.

7. В этом пределе ($\Delta \varphi \to 0$) угол между вектором $\Delta \vec{v}$ и вектором $\vec{v}_1$ (или $\vec{v}_2$) стремится к $90^\circ$. Это означает, что вектор изменения скорости $\Delta \vec{v}$ становится перпендикулярным вектору мгновенной скорости $\vec{v}$.

8. Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ в любой точке направлен по касательной к окружности. Вектор, перпендикулярный касательной, направлен вдоль радиуса. Из геометрического построения видно, что вектор $\Delta \vec{v}$ направлен внутрь дуги, то есть в сторону центра окружности.

Следовательно, в пределе $\Delta t \to 0$ вектор $\Delta \vec{v}$, а значит и вектор ускорения $\vec{a}$, направлен строго перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$ и указывает к центру окружности. Такое ускорение называют центростремительным.

Ответ: Доказано, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения в любой точке траектории направлен к центру этой окружности. Это следует из анализа изменения направления вектора скорости: в пределе бесконечно малого промежутка времени вектор изменения скорости становится перпендикулярным вектору мгновенной скорости и направленным к центру кривизны траектории, которым в данном случае является центр окружности.