Номер 4.5, страница 23 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 4.5. При свободном падении с высоты $\text{h}$ камень за последнюю секунду падения прошёл путь $0,75h$. Найдите высоту $\text{h}$ и время падения камня. Примите ускорение свободного падения равным $10 \text{ м/с}^2$, влияние воздуха на движение камня считайте пренебрежимо малым.

Дано:

$s_{посл} = 0.75h$
$\Delta t_{посл} = 1$ с
$g = 10$ м/с²

Найти:

$\text{h}$ - ?
$\text{t}$ - ?

Решение:

Свободное падение — это движение с постоянным ускорением $\text{g}$ и нулевой начальной скоростью. Путь, пройденный телом за время $\text{t}$, описывается формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Пусть $\text{t}$ – полное время падения камня, а $\text{h}$ – полная высота падения. Они связаны соотношением:

$h = \frac{gt^2}{2}$ (1)

За время $t' = t - 1$ с (то есть за все время падения, кроме последней секунды), камень пройдет путь $h_1$:

$h_1 = \frac{g(t-1)^2}{2}$ (2)

Путь, пройденный за последнюю секунду, $s_{посл}$, равен разности полного пути $\text{h}$ и пути $h_1$:

$s_{посл} = h - h_1$

По условию задачи, путь за последнюю секунду составляет $s_{посл} = 0.75h$. Подставим это в предыдущее равенство:

$0.75h = h - h_1$

Из этого уравнения выразим путь $h_1$:

$h_1 = h - 0.75h = 0.25h$

Теперь подставим в это соотношение выражения для $\text{h}$ и $h_1$ из формул (1) и (2):

$\frac{g(t-1)^2}{2} = 0.25 \cdot \frac{gt^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{g}{2}$:

$(t-1)^2 = 0.25t^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку время $\text{t}$ и $t-1$ должны быть положительными, мы берем положительные значения корней:

$\sqrt{(t-1)^2} = \sqrt{0.25t^2}$

$t-1 = 0.5t$

Решим полученное линейное уравнение относительно $\text{t}$:

$t - 0.5t = 1$

$0.5t = 1$

$t = \frac{1}{0.5} = 2$ с

Итак, полное время падения камня составляет 2 секунды.

Теперь, зная полное время падения, мы можем найти высоту $\text{h}$, с которой упал камень, используя формулу (1):

$h = \frac{gt^2}{2} = \frac{10 \cdot 2^2}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20$ м

Ответ: высота $h = 20$ м, время падения $t = 2$ с.