Вариант 6, страница 70 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-6. Относительность движения - страница 70.

Условие.

1. Пассажир поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 4 с встречный поезд длиной 180 м. С какой скоростью движется встречный поезд?

2. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира в течение 1 мин. По движущемуся эскалатору пассажир поднимается за 45 с. Сколько времени будет подниматься пассажир по неподвижному эскалатору?

Решение.

1. Дано:

$v_1 = 72$ км/ч

$t = 4$ с

$L = 180$ м

Перевод в СИ:

$v_1 = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20$ м/с

Найти:

$v_2$ – скорость встречного поезда

Решение:

Когда поезда движутся навстречу друг другу, их относительная скорость $v_{отн}$ равна сумме их скоростей относительно земли:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

С точки зрения пассажира в первом поезде, встречный поезд длиной $\text{L}$ проезжает мимо него за время $\text{t}$. Таким образом, относительную скорость можно также вычислить по формуле:

$v_{отн} = \frac{L}{t}$

Приравняв оба выражения для относительной скорости, получаем:

$v_1 + v_2 = \frac{L}{t}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость второго поезда $v_2$:

$v_2 = \frac{L}{t} - v_1$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_2 = \frac{180 \text{ м}}{4 \text{ с}} - 20 \text{ м/с} = 45 \text{ м/с} - 20 \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}$

При желании можно перевести скорость в км/ч:

$25 \text{ м/с} \cdot 3.6 = 90$ км/ч

Ответ: скорость встречного поезда равна 25 м/с (или 90 км/ч).

2. Дано:

$t_1 = 1$ мин (время подъема на эскалаторе стоя)

$t_2 = 45$ с (время подъема по движущемуся эскалатору)

Перевод в СИ:

$t_1 = 1 \cdot 60 = 60$ с

Найти:

$t_3$ – время подъема по неподвижному эскалатору

Решение:

Пусть $\text{L}$ – длина эскалатора, $v_э$ – скорость эскалатора, $v_п$ – скорость пассажира относительно эскалатора (скорость ходьбы).

1. Когда пассажир стоит на эскалаторе, он движется со скоростью эскалатора. Время подъема $t_1$. Длина эскалатора равна:

$L = v_э \cdot t_1$

Отсюда скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_1}$

2. Когда пассажир идет по движущемуся эскалатору, его скорость относительно земли равна сумме скоростей $v_э + v_п$. Время подъема $t_2$.

$L = (v_э + v_п) \cdot t_2$

3. Когда пассажир идет по неподвижному эскалатору, он движется со своей скоростью $v_п$. Искомое время подъема $t_3$.

$L = v_п \cdot t_3$

Отсюда скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{t_3}$

Подставим выражения для $v_э$ и $v_п$ во вторую формулу:

$L = (\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_3}) \cdot t_2$

Поскольку $L \ne 0$, можно разделить обе части уравнения на $\text{L}$:

$1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_3}) \cdot t_2$

Разделим обе части на $t_2$ и выразим $\frac{1}{t_3}$:

$\frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_3}$

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{t_3} = \frac{t_1 - t_2}{t_1 \cdot t_2}$

Отсюда находим $t_3$:

$t_3 = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 - t_2}$

Подставим числовые значения в секундах:

$t_3 = \frac{60 \text{ с} \cdot 45 \text{ с}}{60 \text{ с} - 45 \text{ с}} = \frac{2700}{15} \text{ с} = 180 \text{ с}$

180 секунд – это 3 минуты.

Ответ: 180 с (или 3 мин).