Вариант 1, страница 75 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-9. Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли - страница 75.

Условие.

1. Два тела равной массы находятся на расстоянии 1 м. Какой должна быть масса этих тел, чтобы они притягивались с силой 1 Н?

2. Определите ускорение, с которым падают тела на поверхность Луны, если её масса $7,3 \cdot 10^{22}$ кг, а радиус 1760 км.

Решение.

1. Дано:

$m_1 = m_2 = m$
$r = 1 \text{ м}$
$F = 1 \text{ Н}$
$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{m}$

Решение:

Для решения данной задачи используется закон всемирного тяготения: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Поскольку по условию задачи массы тел равны ($m_1 = m_2 = m$), мы можем переписать формулу следующим образом: $F = G \frac{m^2}{r^2}$

Теперь выразим массу $\text{m}$ из этой формулы: $m^2 = \frac{F \cdot r^2}{G}$ $m = \sqrt{\frac{F \cdot r^2}{G}}$

Подставим известные значения в полученное выражение: $m = \sqrt{\frac{1 \text{ Н} \cdot (1 \text{ м})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}} = \sqrt{\frac{1}{6,67 \cdot 10^{-11}}} \text{ кг}$

Произведем вычисления: $m \approx \sqrt{0,1499 \cdot 10^{11}} \text{ кг} \approx \sqrt{1,499 \cdot 10^{10}} \text{ кг} \approx 1,22 \cdot 10^5 \text{ кг}$

Ответ: масса каждого тела должна быть примерно $1,22 \cdot 10^5$ кг.

2. Дано:

$M_Л = 7,3 \cdot 10^{22} \text{ кг}$ (масса Луны)
$R_Л = 1760 \text{ км}$ (радиус Луны)
$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Перевод в систему СИ:
$R_Л = 1760 \text{ км} = 1760 \cdot 1000 \text{ м} = 1,76 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$g_Л$

Решение:

Ускорение свободного падения ($\text{g}$) на поверхности небесного тела определяется его массой ($\text{M}$) и радиусом ($\text{R}$). Сила гравитационного притяжения, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности Луны, равна $F_Г = G \frac{M_Л \cdot m}{R_Л^2}$.

Согласно второму закону Ньютона, эта же сила сообщает телу ускорение $g_Л$ и равна $F_{тяж} = m \cdot g_Л$.

Приравняв оба выражения для силы, получим: $m \cdot g_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{R_Л^2}$

Сократив массу тела $\text{m}$ в обеих частях уравнения, получим формулу для ускорения свободного падения на поверхности Луны: $g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $g_Л = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{7,3 \cdot 10^{22} \text{ кг}}{(1,76 \cdot 10^6 \text{ м})^2}$

Выполним расчеты: $g_Л = \frac{6,67 \cdot 7,3}{1,76^2} \cdot \frac{10^{-11} \cdot 10^{22}}{(10^6)^2} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx \frac{48,691}{3,0976} \cdot \frac{10^{11}}{10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ $g_Л \approx 15,72 \cdot 10^{-1} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1,57 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение, с которым падают тела на поверхность Луны, составляет примерно $1,57 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.