Вариант 4, страница 75 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-9. Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли - страница 75.

Условие.

1. С какой силой притягиваются друг к другу два корабля массой 10 000 т каждый, если расстояние между ними 1 км?

2. На какой высоте над поверхностью Земли скорость искусственного спутника, движущегося по круговой орбите, должна составлять 7,75 км/с? Радиус Земли принять равным 6400 км; считать на поверхности Земли $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

1. Дано:

Масса каждого корабля $m_1 = m_2 = 10 000$ т
Расстояние между кораблями $r = 1$ км
Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

$m_1 = m_2 = 10000 \cdot 1000 \, \text{кг} = 10^7 \, \text{кг}$
$r = 1 \cdot 1000 \, \text{м} = 10^3 \, \text{м}$

Найти:

Силу притяжения $\text{F}$.

Решение:

Для нахождения силы притяжения между двумя телами воспользуемся законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Подставим значения в систему СИ в формулу:

$F = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{10^7 \cdot 10^7}{(10^3)^2} = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{10^{14}}{10^6} = 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 10^8 = 6.67 \cdot 10^{-3} \, \text{Н}$

Ответ: Сила притяжения между кораблями составляет $6.67 \cdot 10^{-3}$ Н (или 6,67 мН).

2. Дано:

Скорость спутника $v = 7.75$ км/с
Радиус Земли $R_{З} = 6400$ км
Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g = 10$ м/с$^2$

$v = 7.75 \cdot 1000 \, \text{м/с} = 7750 \, \text{м/с}$
$R_{З} = 6400 \cdot 1000 \, \text{м} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$

Найти:

Высоту спутника над поверхностью Земли $\text{h}$.

Решение:

При движении спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{g} = ma_{цс}$

$G \frac{M_{З} m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $M_{З}$ - масса Земли, $\text{m}$ - масса спутника, $\text{v}$ - скорость спутника, $\text{r}$ - радиус орбиты. Радиус орбиты связан с высотой $\text{h}$ над поверхностью как $r = R_{З} + h$.

Из этого уравнения можно выразить квадрат скорости спутника:

$v^2 = \frac{G M_{З}}{r}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется формулой:

$g = G \frac{M_{З}}{R_{З}^2}$

Отсюда выразим произведение $G M_{З}$, которое характеризует гравитационное поле Земли: $G M_{З} = g R_{З}^2$.

Подставим это выражение в формулу для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{g R_{З}^2}{r}$

Теперь выразим радиус орбиты $\text{r}$:

$r = \frac{g R_{З}^2}{v^2}$

Подставим числовые значения в СИ:

$r = \frac{10 \cdot (6.4 \cdot 10^6)^2}{(7750)^2} = \frac{10 \cdot 40.96 \cdot 10^{12}}{60062500} \approx \frac{4.096 \cdot 10^{14}}{6.006 \cdot 10^7} \approx 0.682 \cdot 10^7 \, \text{м} = 6820 \, \text{км}$

Высота спутника над поверхностью Земли $\text{h}$ равна разности радиуса орбиты $\text{r}$ и радиуса Земли $R_{З}$:

$h = r - R_{З}$

$h \approx 6820 \, \text{км} - 6400 \, \text{км} = 420 \, \text{км}$

Ответ: Спутник должен находиться на высоте примерно 420 км над поверхностью Земли.