Вариант 6, страница 77 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-10. Движение тела по окружности - страница 77.

Условие.

1. Определите центростремительное ускорение поезда, движущегося по закруглению радиусом 500 м со скоростью 54 км/ч.

2. С какой скоростью должен ехать велосипедист по средней части выпуклого моста с радиусом кривизны 10 м, чтобы не оказывать давления на мост?

Решение.

1. Дано:

Радиус закругления $R = 500 \text{ м}$

Скорость поезда $v = 54 \text{ км/ч}$

Перевод в систему СИ:

Скорость необходимо перевести из км/ч в м/с. В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 3600 секунд.

$v = 54 \text{ км/ч} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$

Найти:

Центростремительное ускорение $a_c$

Решение:

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, определяется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

где $\text{v}$ — линейная скорость тела, а $\text{R}$ — радиус окружности.

Подставим известные значения в формулу, используя скорость в системе СИ:

$a_c = \frac{(15 \text{ м/с})^2}{500 \text{ м}} = \frac{225 \text{ м}^2/\text{с}^2}{500 \text{ м}} = 0,45 \text{ м/с}^2$

Ответ: $0,45 \text{ м/с}^2$.

2. Дано:

Радиус кривизны моста $R = 10 \text{ м}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Условие: велосипедист не оказывает давления на мост.

Найти:

Скорость велосипедиста $\text{v}$

Решение:

Когда велосипедист находится в высшей точке выпуклого моста, на него действуют две силы: сила тяжести $\text{mg}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает велосипедисту центростремительное ускорение $a_c$, которое также направлено вниз, к центру кривизны моста.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - N = ma_c$

Центростремительное ускорение выражается формулой $a_c = \frac{v^2}{R}$. Подставим это в уравнение:

$mg - N = m \frac{v^2}{R}$

Условие, что велосипедист "не оказывает давления на мост", означает, что сила давления $\text{P}$ равна нулю. Согласно третьему закону Ньютона, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ равна по модулю силе давления ($N = P$). Следовательно, сила нормальной реакции опоры также равна нулю: $N = 0$.

Тогда уравнение движения принимает вид:

$mg - 0 = m \frac{v^2}{R}$

$mg = m \frac{v^2}{R}$

Массу велосипедиста $\text{m}$ можно сократить:

$g = \frac{v^2}{R}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = gR$

$v = \sqrt{gR}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{10 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: $10 \text{ м/с}$.