Вариант 9, страница 77 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-10. Движение тела по окружности - страница 77.

Условие.

1. Луна движется вокруг Земли на расстоянии 384 000 км от неё, совершая один оборот за 27,3 сут. Вычислите центростремительное ускорение Луны.

2. С какой скоростью должен двигаться мотоциклист по выпуклому мосту радиусом 10 м, чтобы вес мотоциклиста на середине моста оказался равен половине действующей на него силы тяжести?

Решение.

1. Дано:

R = 384 000 км

T = 27,3 сут

Перевод в систему СИ:

R = 384 000 км = $384 \cdot 10^3 \cdot 10^3$ м = $3.84 \cdot 10^8$ м

T = 27,3 сут = $27.3 \cdot 24 \cdot 3600$ с = 2 358 720 с $\approx 2.36 \cdot 10^6$ с

Найти:

$a_c$ — ?

Решение:

Центростремительное ускорение тела, которое движется по окружности, можно вычислить по формуле, связывающей его с периодом обращения $\text{T}$ и радиусом окружности $\text{R}$:

$a_c = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Эта формула является комбинацией двух основных формул: $a_c = \omega^2 R$ и $\omega = \frac{2\pi}{T}$, где $\omega$ — угловая скорость.

Подставим числовые значения в систему СИ в выведенную формулу:

$a_c = \frac{4 \cdot (3.14159)^2 \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}}{(2358720 \text{ с})^2} \approx \frac{4 \cdot 9.87 \cdot 3.84 \cdot 10^8}{5.56 \cdot 10^{12}} \text{ м/с}^2$

$a_c \approx \frac{151.6 \cdot 10^8}{5.56 \cdot 10^{12}} \text{ м/с}^2 \approx 2.72 \cdot 10^{-3} \text{ м/с}^2 = 0.00272 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a_c \approx 0.0027 \text{ м/с}^2$.

2. Дано:

R = 10 м

$P = \frac{1}{2} F_g$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{v}$ — ?

Решение:

В самой высокой точке выпуклого моста на мотоциклиста действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение $a_c$, которое в данном случае направлено к центру кривизны моста, то есть вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее вниз:

$mg - N = ma_c$

Центростремительное ускорение выражается через скорость и радиус как $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Таким образом, уравнение движения принимает вид: $mg - N = \frac{mv^2}{R}$.

Вес тела $\text{P}$ — это сила, с которой тело давит на опору. По третьему закону Ньютона, она равна по модулю силе реакции опоры: $P = N$.

Согласно условию задачи, вес мотоциклиста равен половине действующей на него силы тяжести: $P = \frac{1}{2} F_g = \frac{1}{2} mg$.

Следовательно, сила реакции опоры также равна $N = \frac{1}{2} mg$.

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$mg - \frac{1}{2} mg = \frac{mv^2}{R}$

Упростим левую часть:

$\frac{1}{2} mg = \frac{mv^2}{R}$

Масса мотоциклиста $\text{m}$ сокращается:

$\frac{1}{2} g = \frac{v^2}{R}$

Теперь выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{gR}{2}$

$v = \sqrt{\frac{gR}{2}}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}}{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} \text{ м/с} = \sqrt{49} \text{ м/с} = 7 \text{ м/с}$

Ответ: $v = 7 \text{ м/с}$.