Вариант 7, страница 77 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-10. Движение тела по окружности - страница 77.

Условие.

1. Радиус одного колеса $10 \text{ см}$, другого — $20 \text{ см}$, а линейные скорости точек на ободе колёс соответственно равны $2 \text{ м/с}$ и $4 \text{ м/с}$. Определите, у какого колеса и во сколько раз центростремительное ускорение точек на ободе колеса больше.

2. Определите минимальную скорость самолёта при выполнении «мёртвой петли» радиусом $150 \text{ м}$, при которой пилот в верхней точке петли не отрывается от сиденья.

Решение.

1. Дано:

$r_1 = 10 \text{ см}$

$r_2 = 20 \text{ см}$

$v_1 = 2 \text{ м/с}$

$v_2 = 4 \text{ м/с}$

$r_1 = 0.1 \text{ м}$

$r_2 = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$\frac{a_2}{a_1} - ?$

Решение:

Центростремительное ускорение $a_c$ точек на ободе колеса определяется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

где $\text{v}$ — линейная скорость точек, а $\text{r}$ — радиус колеса.

Найдем центростремительное ускорение для первого колеса:

$a_1 = \frac{v_1^2}{r_1} = \frac{(2 \text{ м/с})^2}{0.1 \text{ м}} = \frac{4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.1 \text{ м}} = 40 \text{ м/с}^2$

Найдем центростремительное ускорение для второго колеса:

$a_2 = \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{(4 \text{ м/с})^2}{0.2 \text{ м}} = \frac{16 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0.2 \text{ м}} = 80 \text{ м/с}^2$

Теперь сравним ускорения, найдя их отношение:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{80 \text{ м/с}^2}{40 \text{ м/с}^2} = 2$

Таким образом, центростремительное ускорение точек на ободе второго колеса больше, чем у первого, в 2 раза.

Ответ: центростремительное ускорение больше у второго колеса в 2 раза.

2. Дано:

$R = 150 \text{ м}$

Найти:

$v_{min} - ?$

Решение:

В верхней точке «мёртвой петли» на пилота действуют две силы, направленные вертикально вниз, к центру петли: сила тяжести $\text{mg}$ и сила реакции опоры $\text{N}$ (сила, с которой сиденье давит на пилота). Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$:

$mg + N = ma_c$

Центростремительное ускорение связано со скоростью $\text{v}$ и радиусом $\text{R}$ соотношением $a_c = \frac{v^2}{R}$. Подставим это в уравнение:

$mg + N = m\frac{v^2}{R}$

Условие, при котором пилот не отрывается от сиденья, означает, что сила реакции опоры $\text{N}$ должна быть больше или равна нулю ($N \geq 0$). Минимальная скорость соответствует предельному случаю, когда пилот почти отрывается от сиденья, то есть сила реакции опоры равна нулю ($N = 0$). В этот момент только сила тяжести обеспечивает центростремительное ускорение.

При $N = 0$ уравнение принимает вид:

$mg = m\frac{v_{min}^2}{R}$

Сократим массу $\text{m}$ в обеих частях уравнения:

$g = \frac{v_{min}^2}{R}$

Отсюда выразим минимальную скорость $v_{min}$:

$v_{min}^2 = gR$

$v_{min} = \sqrt{gR}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$v_{min} = \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 150 \text{ м}} = \sqrt{1470 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 38.34 \text{ м/с}$

Ответ: минимальная скорость самолёта равна приблизительно $38.34 \text{ м/с}$.