Вариант 1, страница 78 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-11. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии - страница 78.

Условие.

1. Мяч массой $300 \text{ г}$, летящий со скоростью $10 \text{ м/с}$, после удара о пол движется вверх с такой же по модулю скоростью. Найдите изменение импульса мяча.

2. Снаряд массой $100 \text{ кг}$, летящий горизонтально со скоростью $500 \text{ м/с}$, попадает в вагон с песком массой $10 \text{ т}$ и застревает в нём. Какую скорость приобретёт вагон, если он двигался навстречу снаряду со скоростью $10 \text{ м/с}$?

Решение.

1. Дано:

$m = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
$v_1 = 10 \text{ м/с}$
$v_2 = 10 \text{ м/с}$

Найти:

$\Delta p - ?$

Решение:

Импульс – это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Изменение импульса мяча равно векторной разности его конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

Выберем ось OY, направленную вертикально вверх. Скорость мяча до удара о пол направлена вниз, поэтому ее проекция на ось OY будет отрицательной ($v_{1y} = -v_1$). Скорость мяча после удара направлена вверх, ее проекция положительна ($v_{2y} = v_2$).

Начальный импульс мяча в проекции на ось OY: $p_{1y} = m \cdot (-v_1) = -mv_1$.

Конечный импульс мяча в проекции на ось OY: $p_{2y} = m \cdot v_2$.

Тогда изменение импульса в проекции на ось OY равно:

$\Delta p_y = p_{2y} - p_{1y} = mv_2 - (-mv_1) = m(v_1 + v_2)$.

Так как по условию модули скоростей равны $|v_1| = |v_2| = v = 10$ м/с, то:

$\Delta p = m(v + v) = 2mv$.

Подставим числовые значения:

$\Delta p = 2 \cdot 0.3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с} = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Поскольку результат получился положительным, вектор изменения импульса направлен вверх.

Ответ: 6 кг·м/с.

2. Дано:

$m_1 = 100 \text{ кг}$
$v_1 = 500 \text{ м/с}$
$m_2 = 10 \text{ т} = 10000 \text{ кг}$
$v_2 = 10 \text{ м/с}$

Найти:

$u - ?$

Решение:

Данное взаимодействие является неупругим ударом. Для системы тел "снаряд-вагон" можно применить закон сохранения импульса, так как ее можно считать замкнутой (внешние силы скомпенсированы, а силы сопротивления воздуха малы по сравнению с силами взаимодействия).

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме: $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = (m_1 + m_2)\vec{u}$, где $m_1$, $\vec{v_1}$ — масса и скорость снаряда, $m_2$, $\vec{v_2}$ — масса и скорость вагона, а $\vec{u}$ — их общая скорость после взаимодействия.

Направим ось OX в сторону начального движения снаряда. Тогда проекции скоростей на эту ось будут: $v_{1x} = v_1 = 500$ м/с, а $v_{2x} = -v_2 = -10$ м/с, так как вагон движется навстречу снаряду.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось OX:

$m_1v_1 - m_2v_2 = (m_1 + m_2)u_x$

Выразим отсюда проекцию конечной скорости $u_x$:

$u_x = \frac{m_1v_1 - m_2v_2}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$u_x = \frac{100 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с} - 10000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{100 \text{ кг} + 10000 \text{ кг}} = \frac{50000 - 100000}{10100} = \frac{-50000}{10100} \approx -4.95 \text{ м/с}$

Знак "минус" указывает на то, что после столкновения вагон со снарядом будет двигаться в направлении, противоположном первоначальному движению снаряда, то есть в ту же сторону, куда изначально двигался вагон. Модуль скорости будет равен 4.95 м/с.

Ответ: ≈ 4.95 м/с.