Вариант 8, страница 77 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-10. Движение тела по окружности - страница 77.

Условие.

1. При постоянной скорости 900 км/ч самолёт описывает вертикальную петлю. При каком радиусе петли центростремительное ускорение не превысит $5g$?

2. Какова скорость автомобиля при движении по выпуклому мосту радиусом 40 м, если в верхней точке моста пассажир находится в состоянии невесомости?

Решение.

1. Дано:

Скорость самолёта $v = 900$ км/ч
Максимальное центростремительное ускорение $a_{ц.макс} = 5g$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$v = 900 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 900 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 250$ м/с

Найти:

Радиус петли $\text{R}$

Решение:

Центростремительное ускорение ($a_ц$) при движении по окружности радиусом $\text{R}$ со скоростью $\text{v}$ определяется формулой: $a_ц = \frac{v^2}{R}$
По условию задачи, центростремительное ускорение не должно превышать $\text{5g}$: $a_ц \le 5g$
Подставим формулу для центростремительного ускорения в это неравенство: $\frac{v^2}{R} \le 5g$
Чтобы найти, при каком радиусе это условие выполняется, выразим $\text{R}$ из неравенства. Так как $\text{R}$ (радиус) — величина положительная, мы можем преобразовать неравенство: $v^2 \le 5gR$
$R \ge \frac{v^2}{5g}$
Это означает, что радиус петли должен быть больше или равен некоторому минимальному значению. Найдём это минимальное значение, подставив известные величины: $R_{мин} = \frac{(250 \text{ м/с})^2}{5 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{62500 \text{ м}^2/\text{с}^2}{49 \text{ м/с}^2} \approx 1275.5$ м
Таким образом, чтобы центростремительное ускорение не превышало $\text{5g}$, радиус петли должен быть не менее 1276 м.

Ответ: радиус петли должен быть не менее 1276 м (или ≈ 1.28 км).

2. Дано:

Радиус кривизны моста $R = 40$ м
Пассажир находится в состоянии невесомости.
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Скорость автомобиля $\text{v}$

Решение:

Когда автомобиль движется по выпуклому мосту, на пассажира в верхней точке действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры (сиденья) $\text{N}$, направленная вертикально вверх.
Равнодействующая этих сил сообщает пассажиру центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру кривизны моста, то есть вертикально вниз. Согласно второму закону Ньютона, в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $mg - N = ma_ц$
Центростремительное ускорение равно $a_ц = \frac{v^2}{R}$. Подставим это в уравнение: $mg - N = m \frac{v^2}{R}$
Состояние невесомости означает, что вес тела равен нулю. Вес тела — это сила, с которой тело давит на опору. По третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю силе нормальной реакции опоры $\text{N}$. Таким образом, состояние невесомости означает, что сила нормальной реакции опоры равна нулю: $N = 0$.
Подставим $N = 0$ в наше уравнение: $mg = m \frac{v^2}{R}$
Сократив массу $\text{m}$, получим: $g = \frac{v^2}{R}$
Выразим скорость $\text{v}$: $v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
Подставим числовые значения: $v = \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 40 \text{ м}} = \sqrt{392 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 19.8$ м/с

Ответ: скорость автомобиля примерно равна 19.8 м/с.