Вариант 10, страница 78 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-10. Движение тела по окружности - страница 78.

Условие.

Вариант 10

1. Определите ускорение конца минутной стрелки часов на Спасской башне Кремля, если он находится на расстоянии 4,5 м от центра вращения.

2. Автомобиль массой 5 т проходит по выпуклому мосту со скоростью 21,6 км/ч. С какой силой он давит на середину моста, имеющего радиус кривизны 50 м?

Решение.

1. Дано:

Радиус вращения (длина стрелки), $R = 4,5$ м

Найти:

Ускорение конца стрелки, $\text{a}$ - ?

Решение:

Конец минутной стрелки совершает равномерное движение по окружности. При таком движении ускорение является центростремительным (нормальным), оно постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Центростремительное ускорение $\text{a}$ вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 R$

где $\omega$ – угловая скорость, а $\text{R}$ – радиус окружности.

Угловая скорость, в свою очередь, связана с периодом обращения $\text{T}$ (временем одного полного оборота) следующим соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Минутная стрелка делает полный оборот за 1 час. Переведем это время в секунды:

$T = 1 \text{ час} = 60 \text{ минут} = 60 \cdot 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

Теперь можно объединить формулы и подставить значения:

$a = (\frac{2\pi}{T})^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Подставим числовые данные, принимая $\pi \approx 3,14$:

$a = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot 4,5 \text{ м}}{(3600 \text{ с})^2} = \frac{4 \cdot 9,8596 \cdot 4,5}{12960000} \approx \frac{177,47}{12960000} \approx 0,0000137 \text{ м/с}^2$

Таким образом, ускорение конца минутной стрелки составляет примерно $1,37 \cdot 10^{-5}$ м/с².

Ответ: $a \approx 1,37 \cdot 10^{-5}$ м/с².

2. Дано:

Масса автомобиля, $m = 5$ т

Скорость автомобиля, $v = 21,6$ км/ч

Радиус кривизны моста, $R = 50$ м

Перевод в СИ:

$m = 5 \text{ т} = 5 \cdot 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

$v = 21,6 \text{ км/ч} = 21,6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 6 \text{ м/с}$

Найти:

Сила давления на мост, $\text{P}$ - ?

Решение:

Сила, с которой автомобиль давит на мост, — это его вес $\text{P}$. Согласно третьему закону Ньютона, вес автомобиля равен по модулю силе нормальной реакции опоры $\text{N}$, действующей на автомобиль со стороны моста: $P = N$.

В верхней точке выпуклого моста на автомобиль действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение $a_ц$, которое направлено к центру кривизны траектории, то есть тоже вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона для автомобиля в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$mg - N = m a_ц$

Центростремительное ускорение определяется как:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставим выражение для ускорения в уравнение второго закона Ньютона:

$mg - N = m \frac{v^2}{R}$

Из этого уравнения выразим силу нормальной реакции $\text{N}$:

$N = mg - m \frac{v^2}{R} = m(g - \frac{v^2}{R})$

Так как $P = N$, сила давления автомобиля на мост равна:

$P = m(g - \frac{v^2}{R})$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²:

$P = 5000 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с}^2 - \frac{(6 \text{ м/с})^2}{50 \text{ м}}) = 5000 \cdot (9,8 - \frac{36}{50}) = 5000 \cdot (9,8 - 0,72) = 5000 \cdot 9,08 = 45400 \text{ Н}$

Эту силу можно также выразить в килоньютонах: $45400 \text{ Н} = 45,4 \text{ кН}$.

Ответ: $P = 45400 \text{ Н}$ (или $45,4 \text{ кН}$).