Вариант 5, страница 76 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-9. Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли - страница 76.

Условие.

1. Определите силу взаимного притяжения между Луной и Землёй, если масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг, масса Луны $7,3 \cdot 10^{22}$ кг и расстояние между их центрами 384 000 км.

2. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 1700 км над поверхностью Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км; считать на поверхности Земли $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

1. Дано:

Масса Земли $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Луны $M_Л = 7,3 \cdot 10^{22}$ кг
Расстояние между центрами $r = 384 \, 000$ км
Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

$r = 384 \, 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \text{ км} = 384 \cdot 10^6 \text{ м} = 3,84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

Силу взаимного притяжения $\text{F}$.

Решение:

Для определения силы взаимного притяжения между Землёй и Луной воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона: $F = G \frac{M_З \cdot M_Л}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ и $M_Л$ — массы Земли и Луны, $\text{r}$ — расстояние между их центрами.

Подставим известные значения в формулу:

$F = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг} \cdot 7,3 \cdot 10^{22} \text{ кг}}{(3,84 \cdot 10^8 \text{ м})^2}$

$F = \frac{6,67 \cdot 6 \cdot 7,3 \cdot 10^{-11+24+22}}{(3,84)^2 \cdot (10^8)^2} \text{ Н} = \frac{292,194 \cdot 10^{35}}{14,7456 \cdot 10^{16}} \text{ Н}$

$F \approx 19,815 \cdot 10^{19} \text{ Н} \approx 1,98 \cdot 10^{20} \text{ Н}$

Ответ: Сила взаимного притяжения между Луной и Землёй составляет примерно $1,98 \cdot 10^{20}$ Н.

2. Дано:

Высота орбиты $h = 1700$ км
Радиус Земли $R_З = 6400$ км
Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g = 10$ м/с²

$h = 1700 \text{ км} = 1700 \cdot 1000 \text{ м} = 1,7 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость спутника $\text{v}$.

Решение:

Для движения спутника по круговой орбите сила всемирного тяготения должна быть равна центростремительной силе: $F_g = F_ц$

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$, где $\text{m}$ - масса спутника, $M_З$ - масса Земли, $\text{r}$ - радиус орбиты.

Отсюда скорость спутника: $v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$.

Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $\text{h}$: $r = R_З + h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 1,7 \cdot 10^6 \text{ м} = 8,1 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется как $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$.

Подставим это выражение в формулу для скорости: $v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{r}} = \sqrt{\frac{g R_З^2}{R_З + h}}$

Теперь подставим числовые значения: $v = \sqrt{\frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (6,4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{8,1 \cdot 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{10 \cdot 40,96 \cdot 10^{12}}{8,1 \cdot 10^6}} \text{ м/с}$

$v = \sqrt{\frac{409,6 \cdot 10^{12}}{8,1 \cdot 10^6}} \text{ м/с} = \sqrt{50,57 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 7111 \text{ м/с}$

Скорость можно также выразить в км/с: $7111 \text{ м/с} \approx 7,11 \text{ км/с}$.

Ответ: Искусственный спутник должен иметь скорость примерно 7111 м/с (или 7,11 км/с).