Вариант 3, страница 75 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Самостоятельные работы. СР-9. Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли - страница 75.

Условие.

1. Определите силу притяжения между телами, предполагая, что они имеют сферическую форму и их массы соответственно равны 60 и 50 кг, а расстояние между их центрами масс — 1 м.

2. Какую скорость должен иметь искусственный спутник Луны для того, чтобы он обращался вокруг неё по круговой орбите на высоте 40 км? Ускорение свободного падения для Луны на этой высоте равно 1,6 $м/с^2$, а радиус Луны — 1760 км.

Решение.

1. Дано:

$m_1 = 60$ кг
$m_2 = 50$ кг
$r = 1$ м
$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н$\cdot$м$^2$/кг$^2$ (гравитационная постоянная)

Найти:

$\text{F}$ - ?

Решение:

Для определения силы притяжения между двумя телами воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула имеет вид:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
Подставим известные значения в формулу:
$F = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{60 \cdot 50}{1^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 3000 = 20010 \cdot 10^{-11} \approx 2,0 \cdot 10^{-7}$ Н.
Ответ: сила притяжения между телами составляет примерно $2,0 \cdot 10^{-7}$ Н.

2. Дано:

$h = 40$ км
$R_Л = 1760$ км
$g_h = 1,6$ м/с$^2$

Переведем данные в систему СИ:
$h = 40 \cdot 10^3$ м $= 40000$ м
$R_Л = 1760 \cdot 10^3$ м $= 1760000$ м

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Когда спутник движется по круговой орбите, единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения со стороны Луны. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. Ускорение свободного падения на высоте орбиты $\text{h}$ как раз и является этим центростремительным ускорением $a_ц$.
$a_ц = g_h$
Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, связано со скоростью $\text{v}$ и радиусом окружности $\text{r}$ следующим соотношением:
$a_ц = \frac{v^2}{r}$
Радиус орбиты спутника $\text{r}$ представляет собой сумму радиуса Луны $R_Л$ и высоты орбиты $\text{h}$ над её поверхностью:
$r = R_Л + h$
Вычислим радиус орбиты:
$r = 1760000 \text{ м} + 40000 \text{ м} = 1800000 \text{ м} = 1,8 \cdot 10^6 \text{ м}$
Теперь мы можем приравнять два выражения для ускорения, чтобы найти скорость спутника:
$g_h = \frac{v^2}{r}$
Выразим из этой формулы скорость $\text{v}$:
$v^2 = g_h \cdot r$
$v = \sqrt{g_h \cdot r}$
Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{1,6 \cdot 1800000} = \sqrt{2880000} \approx 1697$ м/с.
Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры ($\text{40}$ км, $1,6$ м/с$^2$), округлим результат до двух значащих цифр.
$v \approx 1700$ м/с или $1,7$ км/с.
Ответ: скорость искусственного спутника Луны должна быть примерно $1700$ м/с.