Номер 8, страница 102 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-4. Закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии. Вариант 1 - номер 8, страница 102.

Условие.

8. Стоящий на коньках человек массой 60 кг ловит мяч массой 500 г, летящий горизонтально со скоростью 72 км/ч. Определите расстояние, на которое откатится при этом человек, если коэффициент трения равен 0,05.

Решение.

Дано:

$m_{ч} = 60$ кг (масса человека)

$m_{м} = 500$ г (масса мяча)

$v_{м} = 72$ км/ч (скорость мяча)

$\mu = 0,05$ (коэффициент трения)

$v_{ч} = 0$ м/с (начальная скорость человека)

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$m_{м} = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}$

$v_{м} = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Найти:

$\text{S}$ - расстояние, на которое откатится человек.

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа. Первый этап — это абсолютно неупругое столкновение человека и мяча. Второй этап — движение человека с мячом под действием силы трения до полной остановки.

1. Рассмотрим первый этап. Поскольку взаимодействие человека и мяча происходит за очень короткое время, систему «человек-мяч» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении. Для этой системы выполняется закон сохранения импульса. Запишем его в проекции на горизонтальную ось:

$m_{м}v_{м} + m_{ч}v_{ч} = (m_{м} + m_{ч})u$

где $\text{u}$ — скорость человека с мячом сразу после того, как он поймал мяч. Так как человек изначально стоял на месте, $v_{ч} = 0$.

$m_{м}v_{м} = (m_{м} + m_{ч})u$

Отсюда можем найти скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m_{м}v_{м}}{m_{м} + m_{ч}}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с}}{0,5 \text{ кг} + 60 \text{ кг}} = \frac{10}{60,5} \text{ м/с} \approx 0,165 \text{ м/с}$

2. Рассмотрим второй этап. После того как человек поймал мяч, система «человек-мяч» начинает движение с начальной скоростью $\text{u}$ и останавливается под действием силы трения. Для нахождения тормозного пути воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии системы равно работе силы трения:

$\Delta E_k = A_{тр}$

$E_{k_{конечная}} - E_{k_{начальная}} = A_{тр}$

Конечная кинетическая энергия равна нулю, так как человек остановился. Начальная кинетическая энергия системы равна:

$E_{k_{начальная}} = \frac{(m_{м} + m_{ч})u^2}{2}$

Работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу нормальной реакции $\text{N}$. На горизонтальной поверхности сила нормальной реакции равна силе тяжести:

$N = (m_{м} + m_{ч})g$

$F_{тр} = \mu(m_{м} + m_{ч})g$

Подставим все выражения в теорему об изменении кинетической энергии:

$0 - \frac{(m_{м} + m_{ч})u^2}{2} = -\mu(m_{м} + m_{ч})gS$

Сократим массу $(m_{м} + m_{ч})$ и знак минус в обеих частях уравнения:

$\frac{u^2}{2} = \mu g S$

Отсюда выразим искомое расстояние $\text{S}$:

$S = \frac{u^2}{2\mu g}$

Теперь подставим числовые значения, используя ранее найденное значение $\text{u}$:

$S = \frac{(\frac{10}{60,5} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0,05 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{\frac{100}{3660,25}}{0,1 \cdot 9,8} = \frac{100}{3660,25 \cdot 0,98} = \frac{100}{3587,045} \approx 0,02788 \text{ м}$

Округляя, получаем $S \approx 0,028$ м или $2,8$ см.

Ответ: человек откатится на расстояние примерно $0,028$ м.