Номер 11, страница 9 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-З. Прямолинейное равноускоренное движение - номер 11, страница 9.

Условие.

11. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Первый, имея начальную скорость 9 км/ч, спускается с горы с ускорением $0.4 \text{ м/с}^2$. Второй поднимается в гору с начальной скоростью 18 км/ч и ускорением $0.2 \text{ м/с}^2$. Через какое время встретятся велосипедисты, если начальное расстояние между ними 200 м?

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого велосипедиста, $v_{01} = 9$ км/ч

Ускорение первого велосипедиста, $a_1 = 0,4$ м/с²

Начальная скорость второго велосипедиста, $v_{02} = 18$ км/ч

Ускорение второго велосипедиста, $a_2 = 0,2$ м/с²

Начальное расстояние, $S_0 = 200$ м

Перевод в систему СИ:

$v_{01} = 9 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 9 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 2,5$ м/с

$v_{02} = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5$ м/с

Найти:

Время до встречи, $\text{t}$ - ?

Решение:

Для решения задачи выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось координат OX в сторону движения первого велосипедиста, который спускается с горы. Начало отсчета ($x=0$) совместим с начальным положением первого велосипедиста. В таком случае начальная координата второго велосипедиста будет $x_{02} = S_0 = 200$ м.

Запишем уравнение движения для каждого велосипедиста. Общий вид уравнения для равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Для первого велосипедиста:

Он начинает движение из точки $x_{01} = 0$. Его скорость $v_{01} = 2,5$ м/с направлена вдоль оси OX. Так как он спускается с горы, его ускорение $a_1 = 0,4$ м/с² также направлено вдоль оси OX. Уравнение его движения:

$x_1(t) = 0 + 2,5t + \frac{0,4t^2}{2} = 2,5t + 0,2t^2$

Для второго велосипедиста:

Он начинает движение из точки $x_{02} = 200$ м. Он едет навстречу первому, поэтому его начальная скорость направлена против оси OX, и ее проекция на ось отрицательна: $v_{02x} = -5$ м/с. Второй велосипедист поднимается в гору, то есть он замедляет свое движение. Это означает, что вектор его ускорения направлен противоположно вектору скорости. Так как скорость направлена против оси OX, ускорение будет направлено вдоль оси OX, и его проекция положительна: $a_{2x} = 0,2$ м/с². Уравнение его движения:

$x_2(t) = 200 - 5t + \frac{0,2t^2}{2} = 200 - 5t + 0,1t^2$

В момент встречи $\text{t}$ их координаты будут одинаковы: $x_1(t) = x_2(t)$.

$2,5t + 0,2t^2 = 200 - 5t + 0,1t^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $At^2 + Bt + C = 0$:

$(0,2 - 0,1)t^2 + (2,5 - (-5))t - 200 = 0$

$0,1t^2 + 7,5t - 200 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10:

$t^2 + 75t - 2000 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 75^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 5625 + 8000 = 13625$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-75 \pm \sqrt{13625}}{2 \cdot 1}$

Так как $\sqrt{13625} \approx 116,73$, получаем два корня:

$t_1 = \frac{-75 + 116,73}{2} = \frac{41,73}{2} \approx 20,865$ с

$t_2 = \frac{-75 - 116,73}{2} < 0$

Физический смысл имеет только положительный корень, так как время не может быть отрицательным. Округляя результат до десятых, получаем $t \approx 20,9$ с.

Ответ: велосипедисты встретятся через 20,9 с.