Номер 101, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный шестиугольник и описанного около него кругов.

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный шестиугольник и описанного около него кругов.

Для решения этой задачи нам нужно найти радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного шестиугольника, а затем найти отношение их площадей.

Пусть a — сторона правильного шестиугольника.

1. Радиус описанной окружности (R)

Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых равносторонних треугольников с вершиной в центре шестиугольника. Стороны этих треугольников равны радиусу описанной окружности R, а основания — сторонам шестиугольника a. Так как треугольники равносторонние, радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника:

$R = a$

2. Радиус вписанной окружности (r)

Радиус вписанной окружности r является апофемой шестиугольника, то есть высотой одного из этих равносторонних треугольников. Высоту равностороннего треугольника со стороной a можно найти по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Площади кругов

Площадь вписанного круга ($S_{вп}$) вычисляется по формуле:

$S_{вп} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{4} = \frac{3\pi a^2}{4}$

Площадь описанного круга ($S_{оп}$) вычисляется по формуле:

$S_{оп} = \pi R^2 = \pi a^2$

4. Отношение площадей

Теперь найдем отношение площади вписанного круга к площади описанного круга:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3\pi a^2}{4}}{\pi a^2}$

Сократив $\pi a^2$, получим:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{3}{4}$

Таким образом, отношение площадей вписанного и описанного кругов для правильного шестиугольника составляет 3 к 4.

Ответ: $\frac{3}{4}$